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DE FÍSICA
ejercicios resueltos de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica

Se dispone de tres focos calorificos a temperaturas T1 > T2 > T2 . Se desea pasar, por dispotivos cíclicos (motors y frigoríficos) que en conjunto no consuman ni produzcan trabajo, una cantidad de calor Q1 al foco más caliente.

a) Demostrar que los acoplamientos posibles de los dispositivos deben ser tales que produzcan el efecto de ceder calor al foco más frio.

b) Determinar la mínima cantidad de calor que puede extraerse del foco a T2 para el fin propuesto.

- Respuesta al ejercicio 53


Por el primer principio, podemos poner:
    \(\triangle U = Q + W \)
Si consideramos un ciclo cerrado no habrá variación de energía interna. Ademas, por ser una condición del enunciado, W = 0, con lo cual nos queda:
    \(Q = 0 \)
Supongamos que cada foco admite o cede una cantidad de calor Qi, respectivamente; se tendrá entonces:
    \(Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 \qquad (1) \)
Considerando la temperatura de cada uno de ellos, las variaciones de entropía serán :
    \(\displaystyle \triangle S_1 = \frac{Q_1}{T_1}\quad ; \quad \triangle S_2 = \frac{Q_2}{T_2}\quad ; \quad \triangle S_3 = \frac{Q_3}{T_3} \)
Y la variación total de entropía:
    \(\displaystyle \triangle S = \frac{Q_1}{T_1}+ \frac{Q_2}{T_2}+ \frac{Q_3}{T_3}\qquad (2) \)
La hipótesis inicial es que Q1 > 0 y tenemos que demostrar Q3 > 0: Tenemos entonces, por la relación (1):
    \( Q_2 = -(Q_1 + Q_3) \)
Y sustituyendo en (2):
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{Q_1}{T_1}- \frac{Q_1 + Q_3}{T_2} + \frac{Q_3}{T_3}\geq 0 \Rightarrow \frac{Q_3}{T_3} - \frac{Q_1 + Q_3}{T_2} \geq - \frac{Q_1}{T_1} \\
     \\
    \Rightarrow \frac{T_2Q_3 - T_3(Q_1+Q_3)}{T_3·T_2}\geq - \frac{Q_1}{T_1}
    \end{array} \)
De esta expresión podemos despejar los terminos en Q3:
    \(\displaystyle\begin{array}{l}
    Q_3(T_2 - T_3) \geq - \frac{T_2·T_3·Q_1}{T_1}+ T_3·Q_1\quad ; \\
     \\
    \quad Q_3 \geq \frac{T_3·Q_1}{T_2 - T_3}- \frac{T_2·T_3·Q_1}{T_1(T_2 - T_3)}=\frac{T_3·Q_1(T_1- T_2)}{T_1(T_2 - T_3)} \geq 0
    \end{array} \)
En la expresión final el numerador y denominador son ambos positivos, por lo lo tanto se cumplira que Q3 es positivo.

Hemos visto que los focos a T1 y T3 absorben calor. Tenemos que encontrar ahora la mínima cantidad de calor que hay que sacar del foco a T2 para el fin propuesto.

De la expresión (1) despejamos Q3
    \(Q_3 = - (Q_1 + Q_2) \)
Y sustituyendo en (2):
    \(\displaystyle \frac{Q_1}{T_1} + \frac{Q_2}{T_2} - \frac{Q_1 + Q_2}{T_3}\geq 0 \Rightarrow Q_2 \geq \frac{T_2Q_1(T_1-T_3)}{T_1(T_3-T_2)}< 0 \)
La ultima expresión es negativa por ser el numerador positivo y el denominador negativo; por lo tanto, para que se cumpla la condición pedida debe ser:
    \(Q_2 =\displaystyle \frac{T_2Q_1(T_1-T_3)}{T_1(T_3-T_2)} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás