PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica - Respuesta al ejercicio 53

Por el primer principio, podemos poner:
    \(\triangle U = Q + W \)
Si consideramos un ciclo cerrado no habrá variación de energía interna. Ademas, por ser una condición del enunciado, W = 0, con lo cual nos queda:
    \(Q = 0 \)
Supongamos que cada foco admite o cede una cantidad de calor Qi, respectivamente; se tendrá entonces:
    \(Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 \qquad (1) \)
Considerando la temperatura de cada uno de ellos, las variaciones de entropía serán :
    \(\displaystyle \triangle S_1 = \frac{Q_1}{T_1}\quad ; \quad \triangle S_2 = \frac{Q_2}{T_2}\quad ; \quad \triangle S_3 = \frac{Q_3}{T_3} \)
Y la variación total de entropía:
    \(\displaystyle \triangle S = \frac{Q_1}{T_1}+ \frac{Q_2}{T_2}+ \frac{Q_3}{T_3}\qquad (2) \)
La hipótesis inicial es que Q1 > 0 y tenemos que demostrar Q3 > 0: Tenemos entonces, por la relación (1):
    \( Q_2 = -(Q_1 + Q_3) \)
Y sustituyendo en (2):
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{Q_1}{T_1}- \frac{Q_1 + Q_3}{T_2} + \frac{Q_3}{T_3}\geq 0 \Rightarrow \frac{Q_3}{T_3} - \frac{Q_1 + Q_3}{T_2} \geq - \frac{Q_1}{T_1} \\
     \\
    \Rightarrow \frac{T_2Q_3 - T_3(Q_1+Q_3)}{T_3·T_2}\geq - \frac{Q_1}{T_1}
    \end{array} \)
De esta expresión podemos despejar los terminos en Q3:
    \(\displaystyle\begin{array}{l}
    Q_3(T_2 - T_3) \geq - \frac{T_2·T_3·Q_1}{T_1}+ T_3·Q_1\quad ; \\
     \\
    \quad Q_3 \geq \frac{T_3·Q_1}{T_2 - T_3}- \frac{T_2·T_3·Q_1}{T_1(T_2 - T_3)}=\frac{T_3·Q_1(T_1- T_2)}{T_1(T_2 - T_3)} \geq 0
    \end{array} \)
En la expresión final el numerador y denominador son ambos positivos, por lo lo tanto se cumplira que Q3 es positivo.

Hemos visto que los focos a T1 y T3 absorben calor. Tenemos que encontrar ahora la mínima cantidad de calor que hay que sacar del foco a T2 para el fin propuesto.

De la expresión (1) despejamos Q3
    \(Q_3 = - (Q_1 + Q_2) \)
Y sustituyendo en (2):
    \(\displaystyle \frac{Q_1}{T_1} + \frac{Q_2}{T_2} - \frac{Q_1 + Q_2}{T_3}\geq 0 \Rightarrow Q_2 \geq \frac{T_2Q_1(T_1-T_3)}{T_1(T_3-T_2)}< 0 \)
La ultima expresión es negativa por ser el numerador positivo y el denominador negativo; por lo tanto, para que se cumpla la condición pedida debe ser:
    \(Q_2 =\displaystyle \frac{T_2Q_1(T_1-T_3)}{T_1(T_3-T_2)} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE TERMODINÁMICA FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás