PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica - Respuesta al ejercicio 51

Según la ecuación del enunciado, la energía interna es función de la tempratura y el volumen, por consiguiente:
    \(\displaystyle dU = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_Vd\theta + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_\theta dV \)
Y sabiendo que Q viene dado por:
    \(\delta Q = dU + PĚdV = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_Vd\theta +\left[ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_\theta + P\right] dV \)
Podemos calcular CV que resulta ser:
    \(\displaystyle C_v = \left.\frac{\delta Q}{d \theta}\right|_V = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_V = C \)
La capacidad calorifica a presión constante la pomos obtener por:
    \(\displaystyle C_p = \left.\frac{\delta Q}{d \theta}\right|_P = C_v + \left[ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_\theta + P\right]\left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_P \)
Pero, tenemos:
    \(\displaystyle \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_\theta = \frac{a}{V^2} \)
De donde nos queda (1):
    \(\displaystyle C_p = C_v + \left(\frac{a}{V^2} + P\right)\left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_P\qquad (1) \)
Para encontrar el valor de \((\partial V / \partial \theta)_P\) consideramos la expresión:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \left[\frac{\partial (R \theta)}{\partial \theta}\right]_P = R = \left[\frac{\partial [P + (a/V^2)(V-b)]}{\partial \theta}\right]_P = \\
     \\
    = (V-b)\left[\frac{\partial [P + (a/V^2)]}{\partial \theta}\right]_P +\left(P+\frac{a}{V^2} \right)\left[\frac{\partial (V-b)}{\partial \theta}\right]_P =\\
     \\

    = (V-b)(2a·V^{-3})\left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_P + \left(P+\frac{a}{V^2} \right)\left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_P = \\
     \\
    = \left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_P\left[(V-b)\left(- \frac{2a}{V^3}\right)+ \left(P + \frac{a}{V^2}\right)\right]
    \end{array}\)
Y despejando \((\partial V / \partial \theta)_P\) nos queda finalmente:
    \(\displaystyle \left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_P = \frac{R}{\left[(V-b)\left(- \frac{2a}{V^3}\right)+ \left(P + \frac{a}{V^2}\right)\right]} \)
Y sustituyendo en (1):
    \(\displaystyle C_p = C_v + \frac{ \left(\frac{a}{V^2}+ P\right)
    R}{\left[(V-b)\left(- \frac{2a}{V^3}\right)+ \left(P + \frac{a}{V^2}\right)\right]}
    \)
Y considerando la ecuación de estado dada en el enunciado:
    \(\displaystyle C_p = C_v + \frac{R}{\left[(V-b)^2(2a/V^3)/R·\theta\right]+1}\qquad (2)
    \)
Podemos observar que cuando a = 0 y b = 0 (bajas presiones) se cumple la relación de Mayer:
    \(\displaystyle C_p = C_v + R
    \)
En una primera aproximación al compotamiento perfecto podemos poner:
    \(\displaystyle C_p = C_v + R\left(1 + \frac{(V_b)^2}{R·\theta}·\frac{2a}{V^3}\right)
    \)
Donde hemos considreado la aproximación:
    \(\displaystyle (1-x)^{-1}\simeq (1+x) \) , cuando x<< 1.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TERMODINÁMICA FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás