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Ejercicios de termodinámica

Calcular el rendimiento del ciclo ideal de un motor de gasolina recorrido por un gas perfecto con capacidad calorífica constante, en términos de la razón de compresión V1/V2.

esquema de un ciclo ideal de un motor de gasolina

Los procesos 1 a 2 y 3 a 4 son adiabáticos reversibles.

- Respuesta al ejercicio 48


Por la ecuación de estado de un gas perfecto, \( PV = NR \theta \), podemos decir que si mantenemos constante V y disminuye P, entonces la temperatura ha de disminuir, De igual forma, si V es constante y aumenta la presión, también aumenta la temperatura.

Podemos decir, según eso, que en el proceso "4-1" disminuye la temperatura y, en consecuencia, el sistema pierde calor, y en el proceso "2-3" aumenta la temperatura y el sistema absorve calor.

El máximo rendimiento corresponde a un motor de Carnot para el que se verifique:
    \( \displaystyle \eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{ Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} \)
Tenemos que calcular Q1 y Q2 en función de valores conocidos. El proceso "4-1" se realiza a volumen constante, por lo tanto:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} C_v = \left.\frac{\delta Q}{d \theta}\right|_v \quad \Rightarrow \delta Q = C_v d\theta \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow Q_2 = - C_v \left(\theta_1 - \theta_4\right) = C_v \left(\theta_4 - \theta_1\right) \end{array}\)
Por la misma razón, tenemos:
    \( Q_1 = C_v \left(\theta_3 - \theta_2\right) \)
con lo que rendimiento será:
    \( \displaystyle \eta = 1 - \frac{\theta_4 - \theta_1}{\theta_3 - \theta_2} \)
Como los procesos "3-4" y "1-2" son adiabáticos reversibles, se cumplirá \( \theta V^{\; \gamma - 1} = Cte \) y, con ello:
    \(\displaystyle \theta_1 V_1^{\; \gamma - 1} = \theta_2 V_2^{\; \gamma - 1} \quad \Rightarrow \quad \theta_1 = \theta_2 \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma - 1} \)

    \(\displaystyle \theta_3 V_3^{\gamma - 1} = \theta_4 V_4^{\gamma - 1} \quad \Rightarrow \quad \theta_4 = \theta_3 \left(\frac{V_3}{V_4}\right)^{\gamma - 1} \)
Pero según el ciclo se cumple V3 = V2 y V4 = V1 , de donde:
    \(\displaystyle \theta_4 - \theta_1 = \left(\theta_3 - \theta_2\right)\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma - 1} \)
y sustituyendo en la expresión del rendimiento:
    \( \displaystyle \eta = 1 - \frac{\theta_3 - \theta_2}{\theta_3 - \theta_2}\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma - 1} = 1 - \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma - 1}\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás