Ejercicios de termodinámica
Calcular el rendimiento del ciclo ideal de un motor de gasolina
recorrido por un gas perfecto con capacidad calorífica
constante, en términos de la razón de compresión
V
1/V
2.
Los procesos 1 a 2 y 3 a 4 son adiabáticos reversibles.
- Respuesta al ejercicio 48
Por la ecuación de estado de un gas perfecto, \( PV = NR
ˇ \theta \), podemos decir que si mantenemos constante V y disminuye
P, entonces la temperatura ha de disminuir, De igual forma, si
V es constante y aumenta la presión, también aumenta
la temperatura.
Podemos decir, según eso, que en el proceso "4-1"
disminuye la temperatura y, en consecuencia, el sistema pierde
calor, y en el proceso "2-3" aumenta la temperatura
y el sistema absorve calor.
El máximo rendimiento corresponde a un motor de Carnot
para el que se verifique:
\( \displaystyle \eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{ Q_1 - Q_2}{Q_1}
= 1 - \frac{Q_2}{Q_1} \)
Tenemos que calcular Q
1 y Q
2 en función
de valores conocidos. El proceso "4-1" se realiza a
volumen constante, por lo tanto:
\( \displaystyle \begin{array}{l} C_v = \left.\frac{\delta Q}{d
\theta}\right|_v \quad \Rightarrow \delta Q = C_v ˇ d\theta
\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow Q_2 = - C_v \left(\theta_1 -
\theta_4\right) = C_v \left(\theta_4 - \theta_1\right) \end{array}\)
Por la misma razón, tenemos:
\( Q_1 = C_v \left(\theta_3 - \theta_2\right) \)
con lo que rendimiento será:
\( \displaystyle \eta = 1 - \frac{\theta_4 - \theta_1}{\theta_3
- \theta_2} \)
Como los procesos "3-4" y "1-2" son adiabáticos
reversibles, se cumplirá \( \theta ˇ V^{\; \gamma - 1}
= Cte \) y, con ello:
\(\displaystyle \theta_1 ˇ V_1^{\; \gamma - 1} = \theta_2 ˇ
V_2^{\; \gamma - 1} \quad \Rightarrow \quad \theta_1 = \theta_2
\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma - 1} \)
\(\displaystyle \theta_3 ˇ V_3^{\gamma - 1} = \theta_4 ˇ V_4^{\gamma
- 1} \quad \Rightarrow \quad \theta_4 = \theta_3 \left(\frac{V_3}{V_4}\right)^{\gamma
- 1} \)
Pero según el ciclo se cumple V
3 = V
2
y V
4 = V
1 , de donde:
\(\displaystyle \theta_4 - \theta_1 = \left(\theta_3 - \theta_2\right)\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma
- 1} \)
y sustituyendo en la expresión del rendimiento:
\( \displaystyle \eta = 1 - \frac{\theta_3 - \theta_2}{\theta_3
- \theta_2}\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma - 1} = 1 - \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma
- 1}\)
