PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica - Respuesta al ejercicio 44

Los coeficientes \( \alpha \) y k vienen definidos en la forma:
    \(\displaystyle \alpha = \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_P \quad ; \quad k = - \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{\theta}\)
Si derivamos cada una de estas expresiones según se nos indica en el enunciado obtenemos para la derivada respecto a la presión:
    \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial P} \left[\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_P\right] = - \frac{1}{V^{\;2}}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_P \left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_P + \frac{1}{V \;} \frac{\partial^2 V}{ \partial P \partial \theta}\)
y análogamente para la derivada respecto a la temperatura:
    \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial \theta} \left[- \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_P\right] = \frac{1}{V^2}\left(\frac{\partial V}{\partial \theta }\right)_P \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_P - \frac{1}{V} \frac{\partial^2 V}{\partial \theta \partial P}\)
comparando ambos resultados, observamos que se sumple:
    \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial P} \left[\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_P\right] = - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[- \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_P\right] \Rightarrow \left(\frac{\partial \alpha}{\partial P}\right)_{\theta} = - \left(\frac{\partial k}{\partial \theta}\right)_P\)
como queríamos demostrar.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TERMODINÁMICA FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás