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DE FÍSICA
ejercicios resueltos de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica

Un gas ideal pasa del estado \((P_1,V_1,\theta_1)\) al estado \((P_2,V_2,\theta_2)\) siguiendo un proceso adiabático cuasiestático. Demostrar que si se suministra al gas en el estado final el equivalente al trabajo realizado en forma de calor, manteniendo el volumen constante, la temperatura volverá a ser θ.

- Respuesta al ejercicio 40


En un proceso adiabático cuasiestático se cumple:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{ll} W = \int_{V_1}^{V_2}PdV \\ \\ PV^\gamma = K (*) \end{array}\right\} W = - \int_{V_1}^{V_2}\frac{K}{V^\gamma}dV = \\  \\ = \left[-K\frac{V^{(1-\gamma)}}{(1-\gamma)}\right]_{V_1}^{V_2} = \frac{P_1V_1 - P_2V_2}{1-\gamma} \end{array} \)

Donde hemos aplicado en varias ocasiones la ecuación (*).
Considerando ahora la ecuación de estado PV=NR• θ:

    \( \displaystyle W =\frac{P_1V_1 - P_2V_2}{1-\gamma} \)

Podemos transformar el resultado obtenido si consideramos las relaciones:
    \(\displaystyle PV = NR\theta \; ;\; C_p - C_v = NR \; ;\; \frac{C_p}{C_v} = \gamma\)
Con lo cual:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} W = \frac{NR(\theta_1 - \theta_2)}{1-\gamma} = \frac{C_vNR(\theta_1 - \theta_2)}{C_v - C_p} = \\  \\ = \frac{C_v(C_p - C_v)(\theta_1 - \theta_2)}{C_v - C_p} = C_v(\theta_1 - \theta_2) \end{array} \)

El trabajo para pasar de estado 2 al estado 3 es nulo, puesto que se tiene:

    \( \displaystyle W = - \int_2^3PdV \quad (V = Cte) \rightarrow dV = 0 \rightarrow - \int_2^3PdV = 0 \)

Por otro lado, según el primer principio de la termodinámica, se tiene:
    U3 - U2 = Q + W = Q
Y el calor suministrado valdrá:

    \( \displaystyle Q = \triangle U = \int_2^3C_v d\theta = C_v(\theta_1 - \theta_2) \)

Este calor tiene que ser igual que el trabajo realizado en el primer proceso, pero con signo negativo por estar realizado sobre el sistema. En consecuencia:
    \( C_v(\theta_3 - \theta_2) = - C_v(\theta_2 - \theta_1) \rightarrow \theta_3 = \theta_1\)
Como queríamos demostrar
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tema escrito por: José Antonio Hervás