PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica - Respuesta al ejercicio 34

Sabemos que el calor específico viene dado por:
    C = δQ / δθ
Por lo tanto, calculamos el denominador:
    δQ = dU - δW = dU + PdV     (1)
Por otro lado tenemos:

    \( \displaystyle C_v = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_V \; ; \; C_p = C_v + \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_\theta + P\right]\left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_P \)
    \( \displaystyle \alpha = \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_V\; ; \; k = -\frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_\theta \)

De la primera expresión y teniendo en cuenta la segunda, podemos obtener:

    \( \displaystyle \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)\theta = \frac{C_p - C_v}{\left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_P}- P = \frac{C_p - C_v}{\alphaV }- P \)

Y, por tanto:

    \( \displaystyle dU = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_V d\theta + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_\theta = C_Vd\theta + \left[\frac{C_p - C_v}{\alphaV }- P\right]dV \)

Sustituyendo en (1):

    \( \displaystyle \delta Q = C_Vd\theta + \left[\frac{C_p - C_v}{\alphaV }- P + P\right]dV = \frac{C_p - C_v}{\alphaV }dV + C_Vd\theta \; (2) \)

Podemos considerar ahora a V función de P y θ, con lo que tenemos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} dV = \left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_P d\theta + \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_\theta dP = \alphaVd\theta - kVdP = \\  \\ = \alphaVd\theta - kVAdV \end{array} \)

Y despejando dV:

    \( \displaystyle dV = \frac{\alphaV}{1+ kVA}d\theta \)

Y llevando este resultado a (2):

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \delta Q = \frac{C_p - C_v}{\alphaV }\frac{\alphaV}{1+ kVA}d\theta + C_Vd\theta = \\  \\ = \left[\frac{C_p - C_v}{1 + kVA } + C_v\right]d\theta \end{array} \)

De donde, finalmente, tenemos:

    \( \displaystyle C = \frac{\delta Q}{\delta \theta} = \frac{C_p - C_v}{1+kVA} + C_v \)

Si queremos aplicar este resultado a un gas perfecto, hemos de considerar que se tiene:
    k = 1/P ; A V = P → k A V = 1
De donde nos queda:

    \( \displaystyle C = \frac{C_p - C_v}{1+kVA} + C_v = \frac{C_p - C_v}{2} + C_v = \frac{C_p + C_v}{2} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE TERMODINÁMICA FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás