PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica - Respuesta al ejercicio 30

Vamos a suponer que la temperatura es función del volumen y la presión y que esta, a su vez, es función de la altura:
    \(\theta = \theta(P, V) \quad;\quad P = P(z)\)
Podemos poner entonces:

    \( \displaystyle d\theta = \left(\frac{\partial \theta}{\partial V}\right)_P dV +\left(\frac{\partial \theta}{\partial P}\right)_V dP = \left(\frac{\partial \theta}{\partial V}\right)_P dV +\left(\frac{\partial \theta}{\partial P}\right)_V\left(\frac{\partial P}{\partial z}\right) dz \)

Si consideramos que el gas que sube es perfecto, su ecuación de estado será:
    \(PV = NR\theta\)
Y tendremos:

    \( \displaystyle \theta = \frac{PV}{NR}\rightarrow \left(\frac{\partial \theta}{\partial V}\right)_P = \frac{P}{NR} \; ; \; \left(\frac{\partial \theta}{\partial P}\right)_V = \frac{V}{NR} \)

Y sustituyendo en la ecuación anterior:

    \( \displaystyle d\theta = \frac{P}{NR}dV + \frac{V}{NR}\left(\frac{\partial P}{\partial z}\right)dz \)

Podemos recordar ahora la ecuación fundamental de la hidrostática:
    \(dP = - \rhogdz\)
Con lo que tendremos:

    \( \displaystyle d\theta = \frac{P}{NR}dV + \frac{V}{NR}(-\rho g )dz = \frac{\theta}{V}dV + \frac{\theta}{P}\rho g·dz \)

Y separando variables:

    \( \displaystyle \frac{d\theta}{\theta} = \frac{dV}{V}- \frac{\rho g}{P}dz \quad (1) \)

Si el gas sube rápidamente, podemos suponer que lo hace en condiciones adiabáticas y, por consiguiente, se verifica:
    \(\theta V^{\gamma-1}= Cte \rightarrow Ln\; \theta + (\gamma - 1) Ln\;\; V = Ln\; Cte\)
Y derivando esta expresión:

    \( \displaystyle \frac{d\theta}{\theta} + (\gamma - 1)\frac{dV}{V} = 0 \rightarrow \frac{dV}{V} = - \frac{d\theta}{\theta (\gamma - 1)} \)

Sustituyendo este resultado en la expresión (1) nos queda:

    \( \displaystyle \frac{d\theta}{\theta} = - \frac{d\theta}{\theta (\gamma - 1)} - \frac{\rho g}{P}dz \rightarrow \left(\frac{1}{\theta} + \frac{1}{\theta (\gamma - 1)}\right)d\theta = - \frac{\rho g}{P}dz \)

Y, finalmente:

    \( \displaystyle d\theta = - \frac{\rho g}{P}\frac{\theta(\gamma - 1)}{\gamma}dz \)

Podemos resolver el problema de otro modo. Para ello consideramos las ecuaciones:
    \(dP = - \rhog dz \;;\; \theta P[(1-\gamma)/\gamma] = Cte\)
Con la segunda de las cuales, que define un proceso adiabático, podemos hacer:

    \( \displaystyle \ln \theta + \frac{(\gamma - 1)}{\gamma}\ln P = \ln (cte) \rightarrow \frac{d\theta}{\theta} + \frac{(1-\gamma)}{\gamma}\frac{dP}{P} = 0 \)

Y despejando el valor de \(d \theta\):

    \( \displaystyle d\theta = \frac{(\gamma - 1)}{\gamma}\frac{\theta}{P}dP = \frac{(\gamma - 1)}{\gamma}\frac{\theta}{P}\rho gdz \quad (2) \)

Pero la densidad, \(\rho\) es función de la presión y la temperatura, ya que tenemos:

    \( \displaystyle PV = NR\theta = \frac{m}{M}R\theta \rightarrow \rho = \frac{m}{V}= \frac{PM}{R\theta} \)

Y sustituyendo en (2)

    \( \displaystyle \begin{array}{l} d\theta = \frac{(\gamma - 1)}{\gamma}\frac{\theta}{P}\frac{PM}{R\theta} gdz = \frac{(\gamma - 1)}{\gamma}\frac{M}{R} gdz \rightarrow \\  \\ \rightarrow \triangle \theta = \frac{(\gamma - 1)}{\gamma}\frac{M}{R} g\triangle z \end{array} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE TERMODINÁMICA FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás