Ejercicios de termodinámica - Respuesta al ejercicio 30

Vamos a suponer que la temperatura es función del volumen y la presión y que esta, a su vez, es función de la altura:

θ = θ(P, V) ; P = P(z)

Podemos poner entonces:



Si consideramos que el gas que sube es perfecto, su ecuación de estado será:

PV = NR·θ

Y tendremos:



Y sustituyendo en la ecuación anterior:



Podemos recordar ahora la ecuación fundamental de la hidrostática:

dP = - ρg·dz

Con lo que tendremos:



Y separando variables:



Si el gas sube rápidamente, podemos suponer que lo hace en condiciones adiabáticas y, por consiguiente, se verifica:

θ · V^{γ - 1} = Cte → Ln θ + (γ - 1) · Ln V = Ln Cte

Y derivando esta expresión:



Sustituyendo este resultado en la expresión (1) nos queda:



Y, finalmente:



Podemos resolver el problema de otro modo. Para ello consideramos las ecuaciones:

dP = - ρg · dz ; θ · P^[(1-γ)/γ] = Cte

Con la segunda de las cuales, que define un proceso adiabático, podemos hacer:



Y despejando el valor de dθ:



Pero la densidad, ρ es función de la presión y la temperatura, ya que tenemos:



Y sustituyendo en (2)