Ejercicios de termodinámica - Respuesta al ejercicio 29

Sean V₀ y N₀ el volumen total y el número total de partículas de un sistema y tomemos una parte pequeña del mismo, de volumen V << V₀.
Considerando un gas homogéneo, la posibilidad de que una cierta partícula se encuentre en el volumen V es V/V0 y la probabilidad de que s encuentren en él, simultáneamente, N << N0 partículas determinadas es (V/V₀)^N.
Análogamente, la probabilidad de que una partícula no se encuentre en el volumen V, es (V₀ – V)/V₀, y la de que N₀ – N partículas consideradas simultáneamente no se encuentren en V, será:



Por todo ello, la probabilidad, P_N, de que en el volumen se encuentren en total N partículas cualesquiera, vale:



Siendo:



El factor que nos da los posibles modos de elegir N partículas de entre las N0.
Puesto que hemos considerado V << V₀ y N << N₀, podemos hacer:

N₀! ≅ (N₀ - N)! · N₀^N

Y eliminar del exponente del segundo paréntesis N, con lo que resultará:



Donde N es el valor medio del número de partículas en el volumen V dado por N₀(V/V₀).
Finalmente, recordando la equivalencia:



Nos quedará:



Como queríamos demostrar.