PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica - Respuesta al ejercicio 29

Sean V0 y N0 el volumen total y el número total de partículas de un sistema y tomemos una parte pequeña del mismo, de volumen V << V0.
Considerando un gas homogéneo, la posibilidad de que una cierta partícula se encuentre en el volumen V es V/V0 y la probabilidad de que s encuentren en él, simultáneamente, N << N0 partículas determinadas es (V/V0)N.
Análogamente, la probabilidad de que una partícula no se encuentre en el volumen V, es (V0 – V)/V0, y la de que N0 – N partículas consideradas simultáneamente no se encuentren en V, será:

    \( \displaystyle \left(\frac{V_o-V}{V_o}\right)^{N_o -N} \)

Por todo ello, la probabilidad, PN, de que en el volumen se encuentren en total N partículas cualesquiera, vale:

    \( \displaystyle P_N = \frac{N_o!}{N!(N_o - N)!}\left(\frac{V}{V_o}\right)^N \left(\frac{V_o-V}{V_o}\right)^{N_o -N} \)

Siendo:

    \( \displaystyle \frac{N_o!}{N!(N_o - N)!}\)

El factor que nos da los posibles modos de elegir N partículas de entre las N0.
Puesto que hemos considerado V << V0 y N << N0, podemos hacer:
    \(N_0! \cong (N_0 - N)! N_0^N\)
Y eliminar del exponente del segundo paréntesis N, con lo que resultará:

    \( \displaystyle P_N =\frac{N_0^N}{N!}\left(\frac{V}{V_o}\right)^N\left(\frac{V_o-V}{V_o}\right)^{N_o}= \)

    \( \displaystyle \frac{1}{N!}\left(\frac{N_0V}{V_0}\right)^N \left(1-\frac{V}{V_0}\right)^{N_0}= \frac{\bar{N}^N}{N!}\left(1-\frac{\bar{N}}{N_0}\right)^{N_0} \)


Donde N es el valor medio del número de partículas en el volumen V dado por N0(V/V0).
Finalmente, recordando la equivalencia:

    \( \displaystyle \lim_{n \to{\infty} }\left(1 - \frac{x}{n}\right)^n = e^{-x} \)

Nos quedará:

    \( \displaystyle P_N = \frac{\bar{N}^N}{N!}e^{-\bar{N}} \)
Como queríamos demostrar.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TERMODINÁMICA FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás