La energía potencial intermolecular,



De un gas real de N partículas es una función homogénea de grado r en las coordenadas de posición de las partículas. Demostrar que su ecuación de estado es necesariamente de la siguiente forma:



Donde f es una función indeterminada de una variable.

NOTA.- Considérese para el cálculo de la presión que únicamente es de interés la integral de configuración dada por:




RESPUESTA 28

Calculamos la función de partición del sistema:



Si las energías cinética y potencial de una partícula en un sistema se representan por K(p) y U(q), respectivamente, se tendrá:



Con lo que la función de partición resultante será de la forma:



Donde Z_t es la función de partición de un sistema de partículas no interaccionantes.
Si en Q_N sustituimos todos los r_i por l_ri y a su vez T por l^r.T, el valor del integrando permanece invariable, aunque cambian los límites de integración respecto de las coordenadas empleadas y ello conduce a una variación del volumen, que queda multiplicado por l^-3; por lo tanto, para que los límites de integración queden invariables, es necesario sustituir también V por l³.V.

Después de todas las sustituciones indicadas, la integral queda multiplicada por l^3N debido a la transformación de las variables en las diferenciales. Llegamos así a la conclusión de que en la sustitución:



La integral Q_N(T, V) se transforma por:



La forma más general de una función Q(T, V) con estas propiedades es:



Puesto que haciendo las sustituciones indicadas, tenemos:



Se sigue de ahí, que la función de partición se podrá expresar:



Podemos calcular la presión considerando que Z_t no depende de V:



Y como b = 1/KT, resulta finalmente:



Como queríamos demostrar.