Ejercicios de termodinámica - Respuesta al ejercicio 28

Calculamos la función de partición del sistema:



Si las energías cinética y potencial de una partícula en un sistema se representan por K(p) y U(q), respectivamente, se tendrá:

E(p, q) = K(p) + U(q) = H(p, q)

Con lo que la función de partición resultante será de la forma:



Donde Z_t es la función de partición de un sistema de partículas no interaccionantes.
Si en Q_N sustituimos todos los r_i por λ_ri y a su vez T por λ^r.T, el valor del integrando permanece invariable, aunque cambian los límites de integración respecto de las coordenadas empleadas y ello conduce a una variación del volumen, que queda multiplicado por λ^-3; por lo tanto, para que los límites de integración queden invariables, es necesario sustituir también V por λ³.V.

Después de todas las sustituciones indicadas, la integral queda multiplicada por λ^3N debido a la transformación de las variables en las diferenciales. Llegamos así a la conclusión de que en la sustitución:

V   →   λ³V     ;     T   →   λ^r T

La integral Q_N(T, V) se transforma por:

Z   →   λ^3NZ

La forma más general de una función Q(T, V) con estas propiedades es:

Q(T, V) = T^3N/r ·Ø(V · T^-3/r)

Puesto que haciendo las sustituciones indicadas, tenemos:

Q(λ^r T, λ³ V) = (λ^r T)^3N/r · f[λ³ V(λ^r T)^-3/r = λ^3N T^3N/r · f(V · T^-3/r ) = λ^3N · Q_N(T, V)

Se sigue de ahí, que la función de partición se podrá expresar:

Z = Z_t · T^3N/r · Ø(V · T^-3/r)   → Ln Z = Ln Z_t + (3N/r) + Ln Ø(V · T^-3/r)

Podemos calcular la presión considerando que Z_t no depende de V:



Y como β = 1/KT, resulta finalmente:

P = KT · T^-3/r · φ(V · T^-3/r ) = K·T^(1-3/r) · φ(V · T^-3/r )   →   PT^(1-3/r) = f(V · T^-3/r)

Como queríamos demostrar.