PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de termodinámica

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios de termodinámica

Estás en : Matemáticas y Poesía > Ejercicios resueltos

 
Ejercicios de termodinámica - Respuesta al ejercicio 28

Calculamos la función de partición del sistema:

    \( \displaystyle Z = \int e^{-\beta H(p,q)}dpdq \)

Si las energías cinética y potencial de una partícula en un sistema se representan por K(p) y U(q), respectivamente, se tendrá:
    \(E(p, q) = K(p) + U(q) = H(p, q)\)
Con lo que la función de partición resultante será de la forma:

    \( \displaystyle Z = \int e^{-\beta[K(p)+U(q)] }dpdq = \int e^{\beta K(p)}dp\int e^{\beta U(q)}dq = Z_tQ_N \)

Donde Zt es la función de partición de un sistema de partículas no interaccionantes.
Si en QN sustituimos todos los ri por λri y a su vez T por λr.T, el valor del integrando permanece invariable, aunque cambian los límites de integración respecto de las coordenadas empleadas y ello conduce a una variación del volumen, que queda multiplicado por λ-3; por lo tanto, para que los límites de integración queden invariables, es necesario sustituir también V por λ³.V.

Después de todas las sustituciones indicadas, la integral queda multiplicada por λ3N debido a la transformación de las variables en las diferenciales. Llegamos así a la conclusión de que en la sustitución:
    \(V \rightarrow \lambda^3V \quad ;\quad T \rightarrow \lambda^r T\)
La integral QN(T, V) se transforma por:
    \(Z \rightarrow \lambda^{3N}Z\)
La forma más general de una función Q(T, V) con estas propiedades es:
    \(Q(T, V) = T^{3N/r} \Phi(V T^{-3/r})\)
Puesto que haciendo las sustituciones indicadas, tenemos:
    \(\begin{array}{l} Q(\lambda^r T, \lambda^rV) = (\lambda^r T)^{3N/r} f[\lambda^rV(\lambda^r T)^{-3/r} = \\  \\ = \lambda^{3N} T^{3N/r} f(V T^{-3/r} ) = \lambda^{3N} Q_N(T, V) \end{array} \)
Se sigue de ahí, que la función de partición se podrá expresar:
    \(\begin{array}{l} Z = Z_t T^{3N/r} \Phi(V T^{-3/r}) \rightarrow \\  \\ \rightarrow Ln \;Z = Ln \;Z_t + (3N/r) + Ln\; \Phi(V T^{-3/r}) \end{array} \)
Podemos calcular la presión considerando que Zt no depende de V:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \bar{P}= \frac{1}{\beta}\left(\frac{\partial \ln Z}{\partial V}\right)_\beta = \\  \\ = \frac{1}{\beta}\left[T^{-3/r}\frac{\phi'(VT^{-3/r})}{\phi(VT^{-3/r})}\right] = \frac{1}{\beta}T^{-3/r}\varphi(VT^{-3/r}) \end{array} \)

Y como β = 1/KT, resulta finalmente:
    \(\begin{array}{l} \bar{P} = KT T^{-3/r} \varphi(V T^{-3/r} ) = KT^{(1-3/r)} \varphi(V T^{-3/r} ) \rightarrow \\  \\ \rightarrow PT^{(1-3/r)} = f(V T^{-3/r} ) \end{array}\)
Como queríamos demostrar.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TERMODINÁMICA FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás