Un gas constituido por N partículas con interacciones a través únicamente de las colisiones, se encuentra encerrado en un recipiente de volumen V y tiene una energía total U.
Demostrar que el punto representativo del gas en el espacio fásico puede ser rpresentado por cualquiera de los puntos de una superficie del espacio fásico que encierre un volumen:



Para que un colectivo de estos sistemas represente un estado de equilibrio, ¿Cómo han de estar distribuidas sobre esta superficie dichos puntos representativos?.

Nota.- El volumen de una esfera n-dimensional vale:



RESPUESTA 27
En las condiciones del enunciado, las partículas presentarán únicamente energía cinética y el Hamiltoniano del sistema podrá escribirse en la forma:



Siendo pi la cantidad de movimiento de la partícula i.

Se nos pide entonces calcular el valor de la integral:



Siendo G(E) el volumen del espacio fásico encerrado por la hipersuperficie H(p, q) = U.
La integración respecto de las posiciones de las moléculas podemos efectuarla con facilidad, por ser el valor del hamiltoniano independiente de ellas. Puesto que cada una de las integrales de posición se extiende al volumen V del recipiente y tenemos N de tales integrales, la ecuación anterior toma la forma:



Ahora bien, la ecuación (1), que también podemos escribir en la forma:



Define en el espacio de 3N dimensiones de las componentes de la cantidad de movimiento una hiperesfera de radio,



Y la integral ) representa el volumen de dicha hiperesfera.
Se demuestra matemáticamente que en un espacio de n dimensiones, el volumen de una hiperesfera de radio R viene dado por:



Donde Vn(1) es el volumen de la hiperesfera de radio unidad y es la función Gamma de Euler.
Sustituyendo los valores obtenidos en la expresión que nos ocupa, tenemos:



Que será el volumen del espacio fásico considerado.