PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica - Respuesta al ejercicio 27
En las condiciones del enunciado, las partículas presentarán únicamente energía cinética y el Hamiltoniano del sistema podrá escribirse en la forma:

    \( \displaystyle H = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^N p_i^2 = U \quad (1) \)
Siendo pi la cantidad de movimiento de la partícula i.

Se nos pide entonces calcular el valor de la integral:

    \( \Upsilon(E) = \int dq dp = \int d^3 r_1\ldots d^3r_N\int d^3 p_1\ldots d^3p_N \)

Siendo Γ(E) el volumen del espacio fásico encerrado por la hipersuperficie H(p, q) = U.
La integración respecto de las posiciones de las moléculas podemos efectuarla con facilidad, por ser el valor del hamiltoniano independiente de ellas. Puesto que cada una de las integrales de posición se extiende al volumen V del recipiente y tenemos N de tales integrales, la ecuación anterior toma la forma:

    \( \displaystyle\Upsilon(E) = V^n\int_{0\leq H\leq U} d^3 p_1\ldots d^3p_N = V^n\Xi(U) \)

Ahora bien, la ecuación (1), que también podemos escribir en la forma:

    \( \displaystyle \sum_{i=1}^N p_i^2 = 2mU \)

Define en el espacio de 3N dimensiones de las componentes de la cantidad de movimiento una hiperesfera de radio,
    R(U) = (2mU)1/2
Y la integral Χ(U) representa el volumen de dicha hiperesfera.
Se demuestra matemáticamente que en un espacio de n dimensiones, el volumen de una hiperesfera de radio R viene dado por:

    \( \displaystyle V_n (R) = R^nV_n(1) = R^n\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}= R^n\frac{\pi^{n/2}}{(n/2)!} \)

Donde Vn(1) es el volumen de la hiperesfera de radio unidad y Γ(n) es la función Gamma de Euler.
Sustituyendo los valores obtenidos en la expresión que nos ocupa, tenemos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \Gamma (E) = V^n\Xi(U) = \\  \\ = V^n\frac{\pi^{3N/2}}{(3N/2)!}[(2mU)^{1/2}]^{3N} = V^n\frac{(2\pi mU)^{3N/2}}{(3N/2)!} \end{array} \)

Que será el volumen del espacio fásico considerado.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TERMODINÁMICA FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás