PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica - Respuesta al ejercicio 24

Podemos considerar las siguientes ecuaciones:

    \( \displaystyle dU = \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_\theta dV + \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_V d\theta \; ; \; \delta Q = dU + PdV \)

Por otra parte, de la definición de Cv y Cp obtenemos:

    \( \displaystyle C_v = \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_V \; ; \; C_p = C_v + \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_\theta + P\right]\left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_P \)

Y despejando la expresión que da la variación de la energía interna con el volumen, a temperatura constante:

    \( \displaystyle \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_\theta = \frac{C_p - C_v}{(\partial V/\partial \theta)_p} - P \)

Teniendo en cuenta ahora la relación:

    \( \displaystyle \left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_P = - \frac{(\partial P/\partial \theta)_v}{(\partial P/\partial V)_\theta} = \frac{R/V}{(-R\theta/V^2)-(2B/V^3)} = \frac{RV^2}{R\thetaV + 2B} \)

Nos queda finalmente:

    \( \displaystyle \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_\theta =(C_p - C_v)\frac{R\thetaV + 2B}{RV} - P = \frac{R\theta(R\thetaV + 2B)}{V(PV^2 + B)} - P \)

De la ecuación de estado podemos obtener dos relaciones que nos simplifican la relación obtenida:

    \( \displaystyle PV = R\theta + \frac{B}{V}\left\{\begin{array}{ll} PV^2 = R\thetaV + B \Rightarrow PV^2 + B = R\thetaV + 2B \\ \\ P = \frac{R\theta}{V}+ \frac{B}{V^2}\Rightarrow \frac{R\theta}{V} - P = - \frac{B}{V^2} \end{array}\right. \)

Y a partir de ahí

    \( \displaystyle \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_\theta = - \frac{B}{V^2} \)

De ese modo, para calcular la energía interna tenemos:

    \( \displaystyle dU = \frac{3}{2}Rd\theta - \frac{B}{V^2}dV \Rightarrow U = \frac{3}{2}R\theta - \frac{B}{V}+ K \)

Para calcular el calor absorbido en un proceso isotermo irreversible, hacemos:

    \( \displaystyle \delta Q = dU + PdV \Rightarrow Q = \triangle U + \int_V^{2V}PdV \)

El aumento de energía interna, con \(\theta\) constante, es:

    \( \displaystyle U_2 - U_1 = \frac{B}{2V}- \frac{B}{V}= - \frac{B}{2V} \)

Y de la ecuación de estado obtenemos:

    \( \displaystyle \int_V^{2V}\left(\frac{R\theta}{V}+ \frac{B}{V^2}\right)dV = R\theta[\ln V]_v^{2v}+ [-B/V]_v^{2v} = R\theta\ln 2 + \frac{B}{2V} \)

Con lo que, finalmente:

    \( \displaystyle Q = -\frac{B}{2V}+ R\theta\ln 2 + \frac{B}{2V} = R\theta\ln 2 \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE TERMODINÁMICA FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás