PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica - Respuesta al ejercicio 21

Si consideramos el primer principio de la termodinámica, podemos poner:
    δQ = dU - δW     pero   δW = - PdV ⇒ δQ = dU + PdV
Pero la energía interna es función de V y P:

    \( \displaystyle dU = \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_V dP + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_P dV \)

Con lo que resulta:

    \( \displaystyle \delta Q = \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_P + P\right]dV + \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_V dP \)

Y para un proceso adiabático cuasiestático:

    \( \displaystyle \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_P + P\right]dV + \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_V dP = 0 \)

Con lo que, dividiendo por dP y reagrupando términos:

    \( \displaystyle \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{ad} = - \frac{\left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_V}{P + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_P} \quad (A) \)

Podemos recordar ahora como se definen Cv y Cp:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} C_V = \left.\frac{\delta Q}{d \theta}\right|_V = \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_P + P\right]\frac{dV}{d\theta} + \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_V \left.\frac{d P}{d \theta}\right|_V = \\  \\ = \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_V \left(\frac{d P}{d \theta}\right)_V \end{array}\)
    \( \displaystyle \begin{array}{l} C_P = \left.\frac{\delta Q}{d \theta}\right|_P = \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_P + P\right]\frac{dV}{d\theta} + \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_V \left.\frac{d P}{d \theta}\right|_P = \\  \\ = \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_P + P\right]\left(\frac{dV}{d\theta}\right)_P \end{array} \)

Y a partir de ahí:

    \( \displaystyle \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_V = \frac{C_V}{(dP/d\theta)_V} \; ; \; \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_P + P\right]= \frac{C_P}{(dV/d\theta)_P} \)

Y teniendo en cuenta los coeficientes de dilatación isóbara y compresibilidad isoterma:

    \( \displaystyle \alpha = \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_V\; ; \; k = -\frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_\theta \)

Obtenemos:

    \( \displaystyle \left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_V = \frac{C_Vk}{\alpha} \; ; \; \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_P + P\right] =\frac{C_p}{\alpha V} \)

Y sustituyendo en (A):

    \( \displaystyle \left(\frac{dV}{dP}\right)_{ad}= - \frac{C_v\left(\frac{k}{\alpha}\right)}{C_p\left(\frac{1}{\alpha V}\right)} = - \frac{C_v}{C_p}kV \)

Con lo que el coeficiente de compresibilidad adiabática vendrá dado por:

    \( \displaystyle K_{ad}=- \frac{1}{V}\left(\frac{dV}{dP}\right)_{ad} =-\frac{1}{V}\left(- \frac{C_v}{C_p}kV\right) = \frac{C_v}{C_p}k \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE TERMODINÁMICA FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás