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ejercicios resueltos de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica

Se colocan en contacto cara a cara, n láminas de distintos materiales y espesores. Si la temperatura de la cara libre de la primera lámina es T1 y la de la cara libre de la última es Tn+1, demuéstrese que en el estado estacionario la cantidad de calor por unidad de tiempo y por unidad de área es:

    \( \displaystyle \frac{\dot{Q}}{A} = \bar{U}(T_1 - T_{n+1}) \)

Donde el coeficiente total de transmisión de calor, U

    \( \displaystyle \frac{1}{\bar{U}}= \frac{x_1}{k_1} + \frac{x_1}{k_1} + \frac{x_2}{k_2} + \ldots + \frac{x_n}{k_n} \)

Siendo x1, x2,…, xn y k1, k2, …, kn los respectivos espesores y conductividades térmicas

- Respuesta al ejercicio 19


Podemos aplicar en este caso la ecuación de Fourier de conducción del calor que se expresa:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \dot{Q}= \phi_x = - KA\frac{T_2 - T_1}{a}\Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \frac{\dot{Q}}{A}= - \frac{K}{a}(T_2 - T_1)= \frac{K}{a}(T_1 - T_2) \end{array} \)

Donde K es la conductividad para un medio homogéneo e isótropo, T1 y T2 sus temperaturas extremas y a su espesor.
Si tenemos un número n de láminas de distintos materiales y espesores, al establecerse el régimen estacionario, el flujo a través de las distintas será el mismo puesto que no hay fuentes de calor entre ellas. En esas condiciones podemos escribir:

    \( \displaystyle \frac{\dot{Q}}{A}= \frac{K_1}{x_1}(T_1 - T_2)= \frac{K_2}{x_2}(T_2 - T_3)= \cdots = \frac{K_n}{x_n}(T_n - T_{n+1}) \)

O lo que es igual:

    \( \displaystyle \frac{\dot{Q}}{A}= \frac{(T_1 - T_2)}{x_1/K_1}= \frac{(T_2 - T_3)}{x_2/K_2}=\ldots =\frac{(T_n - T_{n+1})}{x_n/K_n} \)

Podemos hacer entonces:

    \( \displaystyle \frac{\dot{Q}}{A}=\frac{(T_1 - T_2)+(T_2 - T_3)+ \ldots + (T_n - T_{n+1})}{(x_1/K_1)+(x_2/K_2)+\cdots + (x_n/K_n)} =\)
    \( \displaystyle = \frac{(T_1 - T{n+1})}{1/\bar{U}} = \bar{U}(T_1 - T{n+1}) \)

Donde hemos tomado:

    \( \displaystyle \frac{1}{\bar{U}} = \frac{x_1}{k_1}+ \frac{x_2}{k_2}+ \cdots + \frac{x_n}{k_n} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE TERMODINÁMICA FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA
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tema escrito por: José Antonio Hervás