PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica - Respuesta al ejercicio 18

Teniendo en cuenta lo anotado en el ejercicio anterior pasamos a calcular las expresiones escritas. Para las dos primeras tenemos:

    \( \displaystyle \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_U = -\frac{(\partial U/\partial V)_T}{(\partial U/\partial T)_V}\; ; \; \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S = -\frac{(\partial S/\partial V)_T}{(\partial V/\partial T)_V} \)

Por lo tanto, recordando las expresiones obtenidas para la energía interna y haciendo cálculos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T =\frac{(V-V_o)}{k_oV_o}- \frac{3nR\theta_o\exp\left(- \frac{\theta_o}{T}\right)}{(1-\Psi)^2} \; ; \\  \\ \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V = \frac{3nR\theta_o^2\Psi}{T^2(1-\Psi)^2} \end{array} \)

Con lo que resulta:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_U = -\frac{(\partial U/\partial V)_T}{(\partial U/\partial T)_V} -\frac{(V-V_o)T^2(1 - \Psi)^2}{k_oV_o3nR\theta_o^2\Psi} + \\  \\ + \frac{\alpha T^2}{\theta_o[1+\alpha(V - V_o)]} \end{array} \)

Donde hemos tomado:

    \( \displaystyle \Psi\equiv \exp\left(-\frac{\theta_o}{T}\right)[1 + \alpha(V-V_o)] \)

Para el segundo ejemplo tenemos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T = - \frac{3nR\theta_o}{T(1-\Psi)}\exp\left(-\frac{\theta_o}{T}\right) \left[\frac{T}{\theta_o}- \frac{1}{(1-\Psi)}\right](*) \\  \\ \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V = \frac{3nR\theta_o^2\Psi}{T^3(1-\Psi)^2} \end{array} \)

Con lo que resulta:

    \( \displaystyle \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S = -\frac{(\partial S/\partial V)_T}{(\partial S/\partial T)_V} = \frac{\alpha T^2(1-\Psi)}{\theta_o[1+\alpha (V - V_o)]}\left[\frac{T}{\theta_o}-\frac{1}{1-\Psi}\right] \)

Finalmente, para calcular las capacidades caloríficas a volumen y a presión constante tenemos:

    \( \displaystyle C_V = T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V = \frac{3nR\theta_o^2\Psi}{T^2(1-\Psi)^2} \; ; \; C_p = T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_p \)

La capacidad calorífica no es calculable directamente, pero teniendo en cuenta que se tiene S = S(T, V), podemos escribir:

    \( \displaystyle dS = \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_VdT + \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_TdV \)

Y a partir de ahí:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} C_p = T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_P = \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V + T\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P = \\  \\ = C_V + \alpha_pTV\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T \end{array}\)

Donde hemos hecho uso del valor del coeficiente de expansión térmica indicado en el ejercicio 17.

La expresión para Cp puede transformarse aún más teniendo en cuenta la expresión (*)
EJERCICIOS RESUELTOS DE TERMODINÁMICA FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás