Ejercicios de termodinámica - Respuesta al ejercicio 15

Apartado a) Podemos considerar que, en general, la energía interna del gas es función de T y V:



Por lo tanto, para que U sea solo función de T, deberá anularse el segundo sumando del miembro de la derecha de la anterior ecuación. Por la relación fundamental de la termodinámica podemos escribir:

Y aplicando una de las relaciones de Maxwell:



Por la ecuación de estado tenemos:



Con lo que resulta:



Apartado b) Sabemos que γ = C_p/C_v y, por hipótesis, tenemos que C_v cte.; por consiguiente, lo que hemos de hacer es demostrar que C_p también es constante. Por el primer principio de la termodinámica tenemos:



Donde hemos tenido en cuenta la ecuación (*).

Las capacidades caloríficas C_v y C_p valdrán, respectivamente:



Y de la ecuación de estado obtenemos:



Por consiguiente:



Apartado c) Para un proceso adabático, el gas que estamos considerando cumple:

dU + P•dV = 0 →C_v•dT + P•dV = 0

Pero de la ecuación de estado tenemos:



Con lo que resulta:



Y teniendo en cuenta el valor de C_p:



Por lo que, finalmente, integrando:



Apartado d) Considerando un proceso adiabático para esta nueva situación, podemos escribir:



Y reordenando:


Por la relación temodinámica fundamental tenemos:



Y sustituyendo:



Pero teniendo en cuenta la ecuación de estado:



E integrando