PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica - Respuesta al ejercicio 15

Apartado a) Podemos considerar que, en general, la energía interna del gas es función de T y V:

    \( \displaystyle dU = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_VdT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_TdV \)

Por lo tanto, para que U sea solo función de T, deberá anularse el segundo sumando del miembro de la derecha de la anterior ecuación. Por la relación fundamental de la termodinámica podemos escribir:
    \( \displaystyle dU = T·dS - P·dV \Rightarrow \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T - P \)

Y aplicando una de las relaciones de Maxwell:

    \( \displaystyle \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T - P = T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V - P \)

Por la ecuación de estado tenemos:

    \( \displaystyle P(V- b) = R·T \; ; \; P = \frac{R·T}{V_b}\; ; \; \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V = \frac{R}{V-b}\)

Con lo que resulta:

    \( \displaystyle \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T\frac{R}{V-b} - P = P-P= 0 \quad (*) \)

Apartado b) Sabemos que γ = Cp/Cv y, por hipótesis, tenemos que Cv cte.; por consiguiente, lo que hemos de hacer es demostrar que Cp también es constante. Por el primer principio de la termodinámica tenemos:

    \( \displaystyle\begin{array}{l} \delta Q = dU + PĚdV = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_VdT + \left[P +\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T \right]dV = \\  \\ = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_VdT + PdV \end{array} \)

Donde hemos tenido en cuenta la ecuación (*).

Las capacidades caloríficas Cv y Cp valdrán, respectivamente:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} C_v = \left.\frac{\delta Q}{dT}\right|_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V \; ; \\  \\ C_p = \left.\frac{\delta Q}{dT}\right|_p =\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V + P \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p = C_V +P \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p \end{array}\)

Y de la ecuación de estado obtenemos:

    \( \displaystyle \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p = \frac{R}{P} \)

Por consiguiente:

    \( \displaystyle C_p = C_V + P \frac{R}{P} = C_V + R \Rightarrow \gamma = \frac{C_p}{C_V}= \frac{C_V + R}{C_V} = K \)

Apartado c) Para un proceso adabático, el gas que estamos considerando cumple:

dU + P•dV = 0 →Cv•dT + P•dV = 0

Pero de la ecuación de estado tenemos:

    \( \displaystyle T = \frac{P(V-b)}{R}\; ; \; dT = \frac{P}{R}dV + \frac{V-b}{R}dP \)

Con lo que resulta:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} C_V\left(\frac{P}{R}dV + \frac{V-b}{R}dP\right) + PĚdV = 0 \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \left(\frac{R}{C_V} + 1 \right)PĚdV + (V-b)dP = 0 \end{array}\)

Y teniendo en cuenta el valor de Cp:

    \( \displaystyle \frac{C_p}{C_V}\frac{dV}{V- b}+ \frac{dP}{P} = 0 \Rightarrow \gamma\frac{dV}{V- b}+ \frac{dP}{P} = 0 \)

Por lo que, finalmente, integrando:

    \( \gammaĚ \ln(V-b) + \ln P = \ln K \Rightarrow (V-b)^\gamma ĚP = K \)

Apartado d) Considerando un proceso adiabático para esta nueva situación, podemos escribir:

    \( \displaystyle dU + PĚdV = 0 \Rightarrow \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV + \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_VdT \right] + PĚdV = 0 \)

Y reordenando:
    \( \displaystyle \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT + \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T + P\right]dV = 0 \)

Por la relación temodinámica fundamental tenemos:

    \( \displaystyle \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_T - P = T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V - P \)

Y sustituyendo:

    \( \displaystyle \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT + \left[T \left(\frac{\partial P}{\partial T} - P + P\right)_V \right]dV = 0 \Rightarrow \)
    \( \displaystyle C_V dT + T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V dV = 0 \Rightarrow \frac{dT}{T} + \frac{1}{C_V}\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V dV = 0 \)

Pero teniendo en cuenta la ecuación de estado:

    \( \displaystyle \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V = \frac{R}{V -b} \Rightarrow \frac{dT}{T}\frac{R}{C_V}\frac{dV}{V- b} = 0 \)

E integrando

    \( \displaystyle \ln T = \frac{R}{C_V}\ln (V- b) = \ln K \Rightarrow T(V- b)^{R/C_V} = K \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE TERMODINÁMICA FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás