Ejercicios de termodinámica - Respuesta al ejercicio 7

a) Para un sistema termodinámico general, la relación termodinámica fundamental puede escribirse :

DU = T.dS + Y.dX

Para el sistema que estamos considerando tenemos :

DU = T.dS + F.dL = T.dS + aT²(L-L_o)dL →dS = (1/T)dU - aT(L - L₀)dL

b) Para obtener la expresión indicada aplicamos una de las relaciones de Maxwell. Haciendo uso del diagrama de Born, tenemos :



c) La expresión general de la variación de la entropía en función de T y L es :



Para obtener S(T, L) podemos hacerlo en dos partes: La primera en la que varíe la temperatura desde To hasta T, permaneciendo constante la longitud en Lo y la segunda manteniendo constante T y haciendo variar L. Según eso tenemos :

S(T, L) – S(T_o, L_o) = [S(T, L) – S(T, L_o)] + [S(T, L_o) – S(T_o, L_o)]

Y cada término entre corchetes vale:





Con lo que resulta :

S(T, L) - S(T₀, L₀ = - a·T(L - L₀)² + b(T - T₀)

d) Podemos considerar que T es función de L y S y, puesto que el proceso es cuasiestático :



Pero al estar la varilla térmicamente aislada no hay intercambio de calor con el exterior y, por lo tanto :



Integrando para los límites dados y tomando antilogaritmos, nos queda :



La temperatura final, considerando que en un proceso de tracción es Lf < Li, será mayor que la temperatura inicial puesto que se tiene : b - a(L_i - L₀)² > b - a(L_f - L₀)² para cualesquiera que sean los valores L_o y b.

e) Para calcular CL(L, T) cuando la longitud es L, recordamos que se tiene C_L = T(∂S / ∂T)_L y a partir de ahí



f) Tal como hemos puesto en c) la expresión general para dS es :



pero podemos escribir :



con lo que, finalmente, resulta :

S(T, L) - S(T₀ - L₀) = [-a(L - L₀)² + b](T - T₀ - a·T₀(L - L₀)² =

aT(L - L₀)² + aT₀(L - L₀)² + b(T - T₀) - a·T₀(L - L₀)² = aT(L - L₀)² + b(T - T₀)

expresión que coincide con la obtenida en el apartado c).