PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de termodinámica

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios de termodinámica

Estás en : Matemáticas y Poesía > Ejercicios resueltos

 
Ejercicios de termodinámica - Respuesta al ejercicio 7
a) Para un sistema termodinámico general, la relación termodinámica fundamental puede escribirse :
DU = T.dS + Y.dX
Para el sistema que estamos considerando tenemos :
DU = T.dS + F.dL = T.dS + aT²(L-Lo)dL →dS = (1/T)dU - aT(L - L0)dL
b) Para obtener la expresión indicada aplicamos una de las relaciones de Maxwell. Haciendo uso del diagrama de Born, tenemos :

    \( \displaystyle \left(\frac{\partial S}{\partial L}\right)_T = -\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_L = - \frac{\partial}{\partial T}[aT^2(L - L_o)]_L = -2aT (L - L_o) \)

c) La expresión general de la variación de la entropía en función de T y L es :

    \( \displaystyle dS = \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_L dT + \left(\frac{\partial S}{\partial L}\right)_T dL = \frac{C_L}{T}dT - 2aT (L - L_o)dL \)

Para obtener S(T, L) podemos hacerlo en dos partes: La primera en la que varíe la temperatura desde To hasta T, permaneciendo constante la longitud en Lo y la segunda manteniendo constante T y haciendo variar L. Según eso tenemos :
S(T, L) – S(To, Lo) = [S(T, L) – S(T, Lo)] + [S(T, Lo) – S(To, Lo)]
Y cada término entre corchetes vale:

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    S(T, L_o)- S(T_o,L_o) \int_{T_o}^T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{L_o}dT = \\
     \\
    = \int_{T_o}^T\frac{C_L}{T}dT = \int_{T_o}^T b·dT = b(T - T_o) \\
     \\
    S(T, L)- S(T,L_o)= \int_{L_o}^L\left(\frac{\partial S}{\partial L}\right)dL = \\
     \\
    = \int_{L_o}^L-2aT(L-L_o)dL = -aT(L-L_o)^2
    \end{array} \)

Con lo que resulta :
    \(S(T, L) - S(T_0, L_0) = - aT(L - L_0)^2 + b(T - T_0)\)
d) Podemos considerar que T es función de L y S y, puesto que el proceso es cuasiestático :

    \( \displaystyle dT = \left(\frac{\partial T}{\partial L}\right)_S dL + \left(\frac{\partial T}{\partial S}\right)_L dS \)

Pero al estar la varilla térmicamente aislada no hay intercambio de calor con el exterior y, por lo tanto :

    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    dT = \left(\frac{\partial T}{\partial L}\right)_S dL = - \frac{(\partial S/\partial L)_T}{(\partial S/ \partial T)_L}dL = - \frac{2aT(L - L_o)}{-a(L-L_o)^2+b}dL \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow \frac{dT}{T}= \frac{2aT(L - L_o)}{-a(L-L_o)^2+b}dL
    \end{array}\)

Integrando para los límites dados y tomando antilogaritmos, nos queda :

    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    \left.\ln T\right]_{T_i}^{T_f} = - \left.\ln -a(L -L_o)^2 + b\right]_{L_i}^{L_f}\Rightarrow \frac{T_F}{T_i} = \frac{b-a(L_f - L_o)^2}{b-a(L_f - L_o)^2}\Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow T_f = T_i·\frac{b-a(L_f - L_o)^2}{b-a(L_f - L_o)^2}
    \end{array} \)

La temperatura final, considerando que en un proceso de tracción es Lf < Li, será mayor que la temperatura inicial puesto que se tiene : b - a(Li - L0)² > b - a(Lf - L0)² para cualesquiera que sean los valores Lo y b.

e) Para calcular CL(L, T) cuando la longitud es L, recordamos que se tiene CL = T(∂S / ∂T)L y a partir de ahí

    \( \displaystyle C_L = T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_L = T[-a(L-L_o)^2 + b] \)

f) Tal como hemos puesto en c) la expresión general para dS es :

    \( \displaystyle dS = \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_LdT + \left(\frac{\partial S}{\partial L}\right)_TdL = \frac{C_L}{T}dT - 2aT(L-L_o) dL \)

pero podemos escribir :

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \triangle S = S(T,L) - S(T_o, L_o) = [S(T,L) - S(T_o, L)]+\\ + [S(T_o,L) - S(T_o, L_o)] \\
     \\
    S(T,L) - S(T_o, L) = \int_{T_o}^T \frac{C_L}{T}dT = \\

    = \int_{T_o}^T[-a(L-L_o)^2+ b]dT = [-a(L-L_o)^2 + b](T-T_o) \\
     \\
    S(T_o,L) - S(T_o, L_o) =\\= \int_{L_o}^L[-2aT_o(L-L_o)]dL =\left. -aT_o(L^2 - 2LL_o)\right]_{L_o}^L =\\
     \\
    = -aT_o(L - L_o)^2
    \end{array}\)

con lo que, finalmente, resulta :
    \(\begin{array}{l} S(T, L) - S(T_0 - L_0) = \\ = [-a(L - L_0)^2 + b](T - T_0) - aT_0(L - L_0)^2 = \\ aT(L - L_0)^2 + aT_0(L - L_0)^2 + b(T - T_0) - aT_0(L - L_0)^2 = \\ = aT(L - L_0)^2 + b(T - T_0) \end{array} \)

expresión que coincide con la obtenida en el apartado c).
EJERCICIOS RESUELTOS DE TERMODINÁMICA FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás