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DE FÍSICA
ejercicios resueltos de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica

En un intervalo de temperatura en la proximidad de la temperatura absoluta T, la fuerza tensora en una varilla plástica estirada está relacionada con la longitud por la expresión :
    F = aT²(L - L0)
en la que a y Lo son constantes positivas, Lo es la longitud de la varilla sin estirar. Para L = Lo la capacidad calorífica CL de la varilla (medida a longitud constante) viene dada por la relación CL = b.T, donde b es una constante.
a) Escribir la relación termodinámica fundamental para este sistema, expresando dS en función de dU y dL.

b) La entropía S(T, L) de la varilla es una función de T y L. Calcular la expresión :
    (∂S / ∂L)T
c) conociendo S(To, Lo) determinar S(T, L) a cualquier temperatura T y longitud L. (Es mas conveniente calcular primero la variación de la entropía con la temperatura a la longitud Lo a la que se conoce la capacidad calorífica).

d) Si se parte de L = Li y T = Ti y se ejerce una tracción sobre la varilla, térmicamente aislada, cuasiestáticamente hasta alcanzar la longitud Lf ¿cuál será la temperatura final Tf?. ¿Es mayor o menor Tf que Ti?.

e) Calcular la capacidad calorífica CL(L, T) de la varilla cuando la longitud es L en lugar de Lo.

f) Calcular S(T, L) escribiendo :
S(T, L) – S(To, Lo) = [S(T, L) – S(To, L)] + [S(To, L) – S(To, Lo)]
Y utilizando el resultado del apartado e), calcular el primer término entre corchetes. Comprobar que el resultado obtenido concuerda con el obtenido en c).
- Respuesta al ejercicio 7
a) Para un sistema termodinámico general, la relación termodinámica fundamental puede escribirse :
DU = T.dS + Y.dX
Para el sistema que estamos considerando tenemos :
DU = T.dS + F.dL = T.dS + aT²(L-Lo)dL →dS = (1/T)dU - aT(L - L0)dL
b) Para obtener la expresión indicada aplicamos una de las relaciones de Maxwell. Haciendo uso del diagrama de Born, tenemos :

    \( \displaystyle \left(\frac{\partial S}{\partial L}\right)_T = -\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_L = - \frac{\partial}{\partial T}[aT^2(L - L_o)]_L = -2aT (L - L_o) \)

c) La expresión general de la variación de la entropía en función de T y L es :

    \( \displaystyle dS = \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_L dT + \left(\frac{\partial S}{\partial L}\right)_T dL = \frac{C_L}{T}dT - 2aT (L - L_o)dL \)

Para obtener S(T, L) podemos hacerlo en dos partes: La primera en la que varíe la temperatura desde To hasta T, permaneciendo constante la longitud en Lo y la segunda manteniendo constante T y haciendo variar L. Según eso tenemos :
S(T, L) – S(To, Lo) = [S(T, L) – S(T, Lo)] + [S(T, Lo) – S(To, Lo)]
Y cada término entre corchetes vale:

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    S(T, L_o)- S(T_o,L_o) \int_{T_o}^T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{L_o}dT = \\
     \\
    = \int_{T_o}^T\frac{C_L}{T}dT = \int_{T_o}^T b·dT = b(T - T_o) \\
     \\
    S(T, L)- S(T,L_o)= \int_{L_o}^L\left(\frac{\partial S}{\partial L}\right)dL = \\
     \\
    = \int_{L_o}^L-2aT(L-L_o)dL = -aT(L-L_o)^2
    \end{array} \)

Con lo que resulta :
    \(S(T, L) - S(T_0, L_0) = - aT(L - L_0)^2 + b(T - T_0)\)
d) Podemos considerar que T es función de L y S y, puesto que el proceso es cuasiestático :

    \( \displaystyle dT = \left(\frac{\partial T}{\partial L}\right)_S dL + \left(\frac{\partial T}{\partial S}\right)_L dS \)

Pero al estar la varilla térmicamente aislada no hay intercambio de calor con el exterior y, por lo tanto :

    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    dT = \left(\frac{\partial T}{\partial L}\right)_S dL = - \frac{(\partial S/\partial L)_T}{(\partial S/ \partial T)_L}dL = - \frac{2aT(L - L_o)}{-a(L-L_o)^2+b}dL \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow \frac{dT}{T}= \frac{2aT(L - L_o)}{-a(L-L_o)^2+b}dL
    \end{array}\)

Integrando para los límites dados y tomando antilogaritmos, nos queda :

    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    \left.\ln T\right]_{T_i}^{T_f} = - \left.\ln -a(L -L_o)^2 + b\right]_{L_i}^{L_f}\Rightarrow \frac{T_F}{T_i} = \frac{b-a(L_f - L_o)^2}{b-a(L_f - L_o)^2}\Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow T_f = T_i·\frac{b-a(L_f - L_o)^2}{b-a(L_f - L_o)^2}
    \end{array} \)

La temperatura final, considerando que en un proceso de tracción es Lf < Li, será mayor que la temperatura inicial puesto que se tiene : b - a(Li - L0)² > b - a(Lf - L0)² para cualesquiera que sean los valores Lo y b.

e) Para calcular CL(L, T) cuando la longitud es L, recordamos que se tiene CL = T(∂S / ∂T)L y a partir de ahí

    \( \displaystyle C_L = T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_L = T[-a(L-L_o)^2 + b] \)

f) Tal como hemos puesto en c) la expresión general para dS es :

    \( \displaystyle dS = \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_LdT + \left(\frac{\partial S}{\partial L}\right)_TdL = \frac{C_L}{T}dT - 2aT(L-L_o) dL \)

pero podemos escribir :

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \triangle S = S(T,L) - S(T_o, L_o) = [S(T,L) - S(T_o, L)]+\\ + [S(T_o,L) - S(T_o, L_o)] \\
     \\
    S(T,L) - S(T_o, L) = \int_{T_o}^T \frac{C_L}{T}dT = \\

    = \int_{T_o}^T[-a(L-L_o)^2+ b]dT = [-a(L-L_o)^2 + b](T-T_o) \\
     \\
    S(T_o,L) - S(T_o, L_o) =\\= \int_{L_o}^L[-2aT_o(L-L_o)]dL =\left. -aT_o(L^2 - 2LL_o)\right]_{L_o}^L =\\
     \\
    = -aT_o(L - L_o)^2
    \end{array}\)

con lo que, finalmente, resulta :
    \(\begin{array}{l} S(T, L) - S(T_0 - L_0) = \\ = [-a(L - L_0)^2 + b](T - T_0) - aT_0(L - L_0)^2 = \\ aT(L - L_0)^2 + aT_0(L - L_0)^2 + b(T - T_0) - aT_0(L - L_0)^2 = \\ = aT(L - L_0)^2 + b(T - T_0) \end{array} \)

expresión que coincide con la obtenida en el apartado c).
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tema escrito por: José Antonio Hervás