Ejercicios de termodinámica - Respuesta al ejercicio 6

Si el émbolo no está en equilibrio, sobre él actúa una fuerza de valor :

F = p·A - (p₀A + m·g) = m·ÿ

Por otro lado, en la posición de equilibrio se tendrá :

p_eq = p₀ + (m·g/A) ⇒ p₀A = p_eqA - m·g

y sustituyendo este valor en la anterior ecuación :

F = p·A - (p_eqA - m·g) - m·g = (p - p_eq)·A

Si consideramos que las oscilaciones son pequeñas se cumplirá (p – p _eq ) = dp y, en consecuencia :

F = A·dp ⇒ m·ÿ = A·dp     (*)

Por otro lado, si el proceso es adiabático cuasiestático, podemos poner :

p·V^γ = k ⇒V^γ·dp + γ·p·V^{γ - 1}dV = 0   ⇒    dp = - γ · p · V^-1·dV

Pero teniendo en cuenta que la sección del cilindro y el émbolo es A, resulta :

V = A·y ⇒ dV = A·dy ⇒ dp = dp = - γ · p · V^-1·dV = dp = - γ · p · V^-1·A·dy

y sustituyendo en (*) :

m·ÿ = - γ · p · V^-1·A²·dy

Considerando que los desplazamientos serán pequeños, podemos equiparar dy a y para escribir :



y tenemos la ecuación fundamental de las oscilaciones armónicas que, en su forma general, se escribe :

m·ÿ + ϖ · y = 0     ; siendo ϖ = 2·π · υ

la frecuencia cíclica Teniendo en cuenta lo anterior, podemos poner :



Donde finalmente hemos considerado las condiciones del problema.