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DE FÍSICA
ejercicios resueltos de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica

Un método de medida del coeficiente adiabático , \(\gamma = C_p/C_v\) es el que sigue : un gas (ideal) está contenido en un recipiente cilíndrico vertical y soporta un émbolo de masa m. Embolo y cilindro tienen la misma sección transversal A. La presión atmosférica es p 0 y el volumen ocupado por el gas cuando la gravedad y la presión del gas se equilibran es V 0 . Cuando desplazamos ligeramente el émbolo de su posición de equilibrio, oscila alrededor de ella con frecuencia v.

Las oscilaciones del émbolo son lo suficientemente lentas como para que el gas permanezca siempre en equilibrio y lo suficientemente rápidas como para que no intercambie calor con el exterior. Expresar γ en función de los parámetros del problema.

- Respuesta al ejercicio 6
Si el émbolo no está en equilibrio, sobre él actúa una fuerza de valor :
    F = p·A - (p0A + m·g) = m·ÿ
Por otro lado, en la posición de equilibrio se tendrá :
    peq = p0 + (m·g/A) ⇒ p0A = peqA - m·g
y sustituyendo este valor en la anterior ecuación :
    F = p·A - (peqA - m·g) - m·g = (p - peq)·A
Si consideramos que las oscilaciones son pequeñas se cumplirá (p – p eq ) = dp y, en consecuencia :
    F = A·dp ⇒ m·ÿ = A·dp     (*)
Por otro lado, si el proceso es adiabático cuasiestático, podemos poner :
    p·Vγ = k ⇒Vγ·dp + γ·p·Vγ - 1dV = 0   ⇒    dp = - γ · p · V-1·dV
Pero teniendo en cuenta que la sección del cilindro y el émbolo es A, resulta :
    V = A·y ⇒ dV = A·dy ⇒ dp = dp = - γ · p · V-1·dV = dp = - γ · p · V-1·A·dy
y sustituyendo en (*) :
    m·ÿ = - γ · p · V-1·A²·dy
Considerando que los desplazamientos serán pequeños, podemos equiparar dy a y para escribir :

    \( \displaystyle m\ddot{y} + A^2\gamma p·V^{-1}y = 0 \Rightarrow \ddot{y}+ \frac{A^2\gamma p·V^{-1}}{m}y = 0 \)

y tenemos la ecuación fundamental de las oscilaciones armónicas que, en su forma general, se escribe :
    m·ÿ + ϖ · y = 0     ; siendo ϖ = 2·π · υ
la frecuencia cíclica Teniendo en cuenta lo anterior, podemos poner :

    \( \displaystyle 2\pi \upsilon = \sqrt{\frac{\gamma pA^2}{mV}}\Rightarrow \gamma = \frac{4\pi^2 \upsilon^2mV}{pA^2} \Rightarrow \gamma = \frac{4\pi^2 \upsilon^2mV_o}{p_oA^2} \)

Donde finalmente hemos considerado las condiciones del problema.
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tema escrito por: José Antonio Hervás