Ejercicios de termodinámica

Consideremos la atmósfera terrestre como un gas ideal de peso molecular μ en un campo gravitatorio uniforme de intensidad g constante. a) si z designa la altura sobre el nivel del mar, demostrar que la variación de la presión atmosférica p con la altura viene dada por :

\( \displaystyle \frac{dp}{p} = - \frac{\mu g}{RT}dz \)

siendo T la temperatura absoluta a la altura z.

b) si la disminución de la presión en a) se debe a una expansión adiabática, demostrar que :

\( \displaystyle \frac{dp}{p} = \frac{\gamma}{\gamma - 1}·\frac{dT}{T} \)

c)A partir de a) y b), calcular dT/dz en grados por kilómetro. Suponer que la atmósfera está compuesta en su mayor parte de N ₂ , en cuyo caso, el valor para el índice adiabático, γ , es 1,4.

d) En una atmósfera isotérmica a temperatura T, expresar la presión p a la altura z, en función de la presión a la altura z = 0.

e) Si T ₀ es la temperatura al nivel del mar, determinar p para una atmósfera adiabática como en b).

- Respuesta al ejercicio 4

Consideremos la ecuación fundamental de la hidrostática dp = - ρ·g·dz siendo ρ la densidad del aire. Teniendo en cuenta también la ecuación de estado de los gases perfectos, resulta :

\( \displaystyle pV = nRT = \frac{M}{\mu}RT = \frac{\rho·V}{\mu}RT \Rightarrow \rho = \frac{p\mu}{RT} \)

y sustituyendo el valor de ρ en la anterior ecuación :

\( \displaystyle dp = - \frac{p\mu}{RT}g·dz \Rightarrow \frac{dp}{p}= - \frac{\mu g}{RT}·dz \)

Según el primer principio de la termodinámica, para un gas ideal en un proceso adiabático, se tiene :

δQ = dU + pdV = C_vdT + pdV

Teniendo en cuenta la ecuación de los gases perfectos, podemos hacer :

p·V = n·RT    ;    p·dV + V·dp = n·R·dT ⇒ p·dV = n·R·dT - V·dp

y, por tanto :

C_vdT + p·dV = C_vdT + n·RdT - V·dp = (C_v + nR)dT - V·dp = 0

Pero teniendo en cuenta la relación de Mayer , C _p – C _v = n.R y el valor de V según la ecuación de los gases perfectos, nos queda :

\( \displaystyle\begin{array}{l} C_pdT - Vdp = 0 \; ; \; C_pdT = Vdp = \frac{nRT}{p}dp \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \frac{dp}{p} = \frac{C_p}{nR}·\frac{dT}{T} = \frac{C_p}{C_v - C_p}·\frac{dT}{T} \end{array} \)

Teniendo en cuenta que el índice adiabático, γ , se define mediante el cociente C_p /C_v , podemos hacer la siguiente transformación :

\( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{C_p}{C_v - C_p}\Rightarrow \frac{C_v - C_p}{C_p} = 1 - \frac{C_v}{C_p} 1-\frac{1}{\gamma} = \frac{\gamma-1}{\gamma} \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \frac{C_p}{C_v - C_p} = \frac{\gamma}{\gamma-1} \end{array} \)

y sustituyendo en la anterior expresión :

\( \displaystyle \frac{dp}{p} = \frac{C_p}{C_v - C_p}·\frac{dT}{T} = \frac{\gamma}{\gamma-1}·\frac{dT}{T} \)

Tomando las dos ecuaciones anteriores que nos dan el valor (dp/p) podemos escribir :

\( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{dp}{p} =\frac{\gamma}{\gamma-1}·\frac{dT}{T}= - \frac{\mu g}{RT}·dz \; ; \\  \\ \frac{\gamma}{\gamma-1}· dT = - \frac{\mu g}{RT}·dz \Rightarrow \frac{dT}{dz} = - \frac{\mu g}{R}\frac{\gamma-1}{\gamma} \end{array} \)

El signo negativo de la ecuación nos indica que para el caso que estamos tratando, la temperatura disminuye con la altura. Si consideramos valores numéricos, tendremos :

\( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{dT}{dz} = - \frac{\mu g}{R}\frac{\gamma-1}{\gamma} = - \frac{28\times 10^{-3}}{2\times 4,186}\times 9,8 \times \frac{0,4}{1,4} \approx \\  \\ \approx 9,35 \times 10^{-3} Kº/m \approx 10º/ Km \end{array} \)

d) Puesto que hemos de considerar una atmósfera isoterma para expresar la presión, p, a la altura z en función de la presión en z = 0, de la ecuación obtenida en el apartado a) resulta :

\( \displaystyle \frac{dp}{p} =- \frac{\mu g}{RT}·dz \Rightarrow \int_{p_o}^p \frac{dp}{p} =- \frac{\mu g}{RT}\int _0^zdz \Rightarrow \ln (p/p_o) = \)

\( \displaystyle = - \frac{\mu g}{RT}z \Rightarrow p = p_o·exp \left(- \frac{\mu g}{RT}z \right) \)

y esta expresión es la que nos da la presión a la altura z en función de la presión a la altura z = 0.

Para resolver el apartado e) tomamos la fórmula obtenida en b) :

\( \displaystyle \frac{dp}{p} =\frac{\gamma}{\gamma-1}·\frac{dT}{T} \Rightarrow \int_{p_o}^p \frac{dp}{p} =\frac{\gamma}{\gamma-1}\int_{T_o}^T\frac{dT}{T} \Rightarrow \)

\( \displaystyle \Rightarrow \ln(p/p_o) = \frac{\gamma}{\gamma- 1}\ln(T/T_o) \Rightarrow p = p_o\left(\frac{T}{T_o}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma - 1}} \)