Ejercicios de termodinámica - Respuesta
al ejercicio 4
Consideremos la ecuación fundamental de la hidrostática dp = - ρ·g·dz
siendo ρ la densidad del aire. Teniendo en cuenta también la ecuación
de estado de los gases perfectos, resulta :
y sustituyendo el valor de ρ en la anterior ecuación :
Según el primer principio de la termodinámica, para un gas ideal en un proceso
adiabático, se tiene :
δQ = dU + pdV = CvdT + pdV
Teniendo en cuenta la ecuación de los gases perfectos, podemos hacer :
p·V = n·RT ; p·dV + V·dp = n·R·dT ⇒ p·dV
= n·R·dT - V·dp
y, por tanto :
CvdT + p·dV = CvdT + n·RdT - V·dp = (Cv
+ nR)dT - V·dp = 0
Pero teniendo en cuenta la relación de Mayer , C
p – C
v = n.R y el valor de V según la ecuación de los gases perfectos,
nos queda :
Teniendo en cuenta que el índice adiabático,
γ
, se define mediante el cociente C
p /C
v , podemos
hacer la siguiente transformación :
y sustituyendo en la anterior expresión :
Tomando las dos ecuaciones anteriores que nos dan el valor (dp/p) podemos
escribir :
El signo negativo de la ecuación nos indica que para el caso que estamos
tratando, la temperatura disminuye con la altura. Si consideramos valores
numéricos, tendremos :
d) Puesto que hemos de considerar una atmósfera isoterma para expresar la
presión, p, a la altura z en función de la presión en z = 0, de la ecuación
obtenida en el apartado a) resulta :
y esta expresión es la que nos da la presión a la altura z en función de
la presión a la altura z = 0.
Para resolver el apartado e) tomamos la fórmula obtenida en b) :
