Consideremos
la atmósfera terrestre como un gas ideal de peso molecular 
en un campo gravitatorio uniforme de intensidad g constante. a) si z designa
la altura sobre el nivel del mar, demostrar que la variación de la presión
atmosférica p con la altura viene dada por :
siendo T la temperatura absoluta a la altura z.
b) si la disminución de la presión en a) se debe a una expansión adiabática, demostrar que :
c)A partir de a) y b), calcular dT/dz en grados por kilómetro. Suponer que la atmósfera está compuesta en su mayor parte de N 2 , en cuyo caso, el valor para el índice adiabático,
, es 1,4.
d) En una atmósfera isotérmica a temperatura T, expresar la presión p a la altura z, en función de la presión a la altura z = 0.
e) Si T 0 es la temperatura al nivel del mar, determinar p para una atmósfera adiabática como en b).
siendo 
la densidad del aire. Teniendo en cuenta también la ecuación de estado
de los gases perfectos, resulta :
y sustituyendo el valor
de en la anterior ecuación :
Según el primer principio de la termodinámica, para un gas ideal en un proceso adiabático, se tiene :
Teniendo en cuenta la ecuación de los gases perfectos, podemos hacer :
y, por tanto :
Pero teniendo en cuenta la relación de Mayer , C p – C v = n.R y el valor de V según la ecuación de los gases perfectos, nos queda :
Teniendo en cuenta que el índice adiabático,
, se define mediante el cociente C p /C v , podemos
hacer la siguiente transformación :
y sustituyendo en la anterior expresión :
Tomando las dos ecuaciones anteriores que nos dan el valor (dp/p) podemos escribir :
El signo negativo de la ecuación nos indica que para el caso que estamos tratando, la temperatura disminuye con la altura. Si consideramos valores numéricos, tendremos :
d) Puesto que hemos de considerar una atmósfera isoterma para expresar la presión, p, a la altura z en función de la presión en z = 0, de la ecuación obtenida en el apartado a) resulta :
y esta expresión es la que nos da la presión a la altura z en función de la presión a la altura z = 0.
Para resolver el apartado e) tomamos la fórmula obtenida en b) :
en un campo gravitatorio uniforme de intensidad g constante. a) si z designa
la altura sobre el nivel del mar, demostrar que la variación de la presión
atmosférica p con la altura viene dada por :siendo T la temperatura absoluta a la altura z.
b) si la disminución de la presión en a) se debe a una expansión adiabática, demostrar que :
c)A partir de a) y b), calcular dT/dz en grados por kilómetro. Suponer que la atmósfera está compuesta en su mayor parte de N 2 , en cuyo caso, el valor para el índice adiabático,
, es 1,4. d) En una atmósfera isotérmica a temperatura T, expresar la presión p a la altura z, en función de la presión a la altura z = 0.
e) Si T 0 es la temperatura al nivel del mar, determinar p para una atmósfera adiabática como en b).
RespuestaConsideremos la ecuación fundamental de la hidrostática
siendo
la densidad del aire. Teniendo en cuenta también la ecuación de estado
de los gases perfectos, resulta :y sustituyendo el valor
de en la anterior ecuación :Según el primer principio de la termodinámica, para un gas ideal en un proceso adiabático, se tiene :
Teniendo en cuenta la ecuación de los gases perfectos, podemos hacer :
y, por tanto :
Pero teniendo en cuenta la relación de Mayer , C p – C v = n.R y el valor de V según la ecuación de los gases perfectos, nos queda :
Teniendo en cuenta que el índice adiabático,
, se define mediante el cociente C p /C v , podemos
hacer la siguiente transformación :y sustituyendo en la anterior expresión :
Tomando las dos ecuaciones anteriores que nos dan el valor (dp/p) podemos escribir :
El signo negativo de la ecuación nos indica que para el caso que estamos tratando, la temperatura disminuye con la altura. Si consideramos valores numéricos, tendremos :
d) Puesto que hemos de considerar una atmósfera isoterma para expresar la presión, p, a la altura z en función de la presión en z = 0, de la ecuación obtenida en el apartado a) resulta :
y esta expresión es la que nos da la presión a la altura z en función de la presión a la altura z = 0.
Para resolver el apartado e) tomamos la fórmula obtenida en b) :