PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica - Respuesta al ejercicio 3
Puesto que las expresiones que nos dan αp y KT no aparece explícitamente la presión, vamos a considerar la ecuación de estado en la forma p = p(V,T). tenemos entonces :

    \( \displaystyle dp = \left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_TdV + \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_VdT \)

y sabemos que se cumple :

    \( \displaystyle \left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_T = \frac{1}{\partial V/\partial p)_T} = - \frac{1}{VK_T} = - \frac{nRTV^3 - 2an^2(V-nb)^2}{V^3(V-nb)^2} \)

Si integramos esta expresión manteniendo T constante, nos queda :

    \( \displaystyle - \int\frac{nRTV^3 - 2an^2(V-nb)^2}{V^3(V-nb)^2}dV = \int dp + F(T) \)

o lo que es igual :

    \( \displaystyle \frac{nRT}{(V - nb)}- \frac{an^2}{V^2} = p + F(T) \Rightarrow p = \frac{nRT}{(V - nb)}- \frac{an^2}{V^2}- F(T) \)

Para establecer el valor de F(T), derivamos esta expresión respecto de T :

    \( \displaystyle \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V = \frac{nR}{(V-nb)}- F'(T) \)

Por otro lado tenemos :

    \( \displaystyle \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V = \frac{(\partial V/\partial T)_p}{(\partial V/\partial p)_T} = \frac{\alpha_p}{K_T} = \frac{[nRTV^3 - 2an^2(V -nb)^2]R}{[RTV^3 -2an(V-nb)^2](V-nb)} \)

e igualando las dos expresiones :

    \( \displaystyle \frac{nR}{(V-nb)}- F'(T) = \frac{[nRTV^3 - 2an^2(V -nb)^2]R}{[RTV^3 - 2an(V-nb)^2](V-nb)} \)

de donde resulta :

    \( \displaystyle F'(T) = \frac{nR}{(V-nb)} - \frac{[nRTV^3 - 2an^2(V -nb)^2]R}{[RTV^3 _ 2an(V-nb)^2](V-nb)} = 0 \)

y para la ecuación de estado tendremos :

    \( \displaystyle F'(T) = 0 \Rightarrow F(T) = k \Rightarrow p = \frac{nRT}{(V-nb)}- \frac{an^2}{V^2} + k \)

Para saber cuanto vale k tenemos en cuenta que el gas se comporta como un gas ideal para grandes valores de T y V. Según eso, podemos hacer :

    \( \displaystyle p(V- nb) = nRT - \frac{an^2(V- nb)}{V^2} + k(V-nb) \)

y operando :

    \( \displaystyle pV = nRT - \frac{an^2(V- nb)}{V^2} + p·nb + k(V-nb) \)

pero en el límite, al ser p.V = n.R.T, se deberá cumplir :

    \( \displaystyle k(V-nb) = \frac{an^2(V- nb)}{V^2}- p·nb \Rightarrow k = \frac{an^2}{V^2} - \frac{p·nb}{(V- nb)} \)

y como estamos considerando valores de V tendiendo a infinito, resultará k = 0 para tener finalmente :

    \( \displaystyle p = \frac{nRT}{(V- nb)}- \frac{an^2}{V^2} \)

que es la ecuación de estado buscada.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TERMODINÁMICA FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA


tema escrito por: José Antonio Hervás