La
primera ley de la termodinámica establece la existencia de una función
de estado llamada energía interna "U", de modo que para un fluido o material
análogo, tenemos :
a) mostrar que
es
una diferencial inexacta. b) Probar que la razón de Grüneisen, 
,
con 
, Cv la capacidad
calorífica a volumen constante y V el volumen, es :
c) Encontrar la ecuación de estado mas general para un fluido en el que la razón de Grüneisen sea independiente de la presión.
el trabajo realizado en la evolución es el área comprendida entre la curva, las ordenadas extremas V1 y V2 y el eje de volúmenes. Como es natural, este trabajo dependerá de la relación que ligue a p con V. Por otro lado, sabemos que, matemáticamente, el área de una figura plana puede calcularse por la expresión :
donde C es el contorno que limita a la figura plana. Tendríamos así una integral curvilínea de la forma :
y sabemos que para que esa integral no dependa del camino de integración es necesario y suficiente que exista una función de dos variables, G(x,y), tal que su diferencial total sea la expresión integrante :
En estas condiciones, el criterio necesario y suficiente de la función primitiva es que se verifique :
considerando el problema físico, podemos tomar las funciones p = p(V,T) ; V = V(T) y escribir, como en el caso teórico:
pero hemos dicho que para los mismos estados inicial y final existe un número infinito de transformaciones que nos permiten pasar de un estado a otro y cada una de ellas representa una posible relación entre la presión y el volumen. Así pues, podemos decir que, en generalno
será una diferencial exacta.
b) Podemos escribir :
ya que, matemáticamente, se verifica :
De ese modo, la razón de Grüneisen se escribirá :
Por otro lado, la capacidad calorífica a volumen constante viene dada por
, en consecuencia :
como queríamos demostrar.
c) supongamos que la razón de Grüneisen es función de T y p, es decir, que en general se cumple . Para el caso en el que la expresión no dependa de p, podremos escribir :
Con lo que la ecuación de estado mas general para un fluido que verifique la anterior expresión será :
y puesto que C v , K p y pueden determinarse experimentalmente, esta ecuación será válida para el caso en que la razón de Grüneisen no dependa de p.
a) mostrar que
es
una diferencial inexacta. b) Probar que la razón de Grüneisen, ,
con , Cv la capacidad
calorífica a volumen constante y V el volumen, es :c) Encontrar la ecuación de estado mas general para un fluido en el que la razón de Grüneisen sea independiente de la presión.
RespuestaSi representamos gráficamente la relación entre la presión y el volumen de un sistema durante un proceso reversible, podemos hacerlo en un diagrama p-V mediante una curva cuyos puntos nos indiquen en cada instante los valores de estas coordenadas. En virtud de la ecuación :
el trabajo realizado en la evolución es el área comprendida entre la curva, las ordenadas extremas V1 y V2 y el eje de volúmenes. Como es natural, este trabajo dependerá de la relación que ligue a p con V. Por otro lado, sabemos que, matemáticamente, el área de una figura plana puede calcularse por la expresión :
donde C es el contorno que limita a la figura plana. Tendríamos así una integral curvilínea de la forma :
y sabemos que para que esa integral no dependa del camino de integración es necesario y suficiente que exista una función de dos variables, G(x,y), tal que su diferencial total sea la expresión integrante :
En estas condiciones, el criterio necesario y suficiente de la función primitiva es que se verifique :
considerando el problema físico, podemos tomar las funciones p = p(V,T) ; V = V(T) y escribir, como en el caso teórico:
pero hemos dicho que para los mismos estados inicial y final existe un número infinito de transformaciones que nos permiten pasar de un estado a otro y cada una de ellas representa una posible relación entre la presión y el volumen. Así pues, podemos decir que, en general
no
será una diferencial exacta. b) Podemos escribir :
ya que, matemáticamente, se verifica :
De ese modo, la razón de Grüneisen se escribirá :
Por otro lado, la capacidad calorífica a volumen constante viene dada por
, en consecuencia :como queríamos demostrar.
c) supongamos que la razón de Grüneisen es función de T y p, es decir, que en general se cumple . Para el caso en el que la expresión no dependa de p, podremos escribir :
Con lo que la ecuación de estado mas general para un fluido que verifique la anterior expresión será :
y puesto que C v , K p y pueden determinarse experimentalmente, esta ecuación será válida para el caso en que la razón de Grüneisen no dependa de p.