Ejercicios de termodinámica - Respuesta al ejercicio 2

Si representamos gráficamente la relación entre la presión y el volumen de un sistema durante un proceso reversible, podemos hacerlo en un diagrama p-V mediante una curva cuyos puntos nos indiquen en cada instante los valores de estas coordenadas. En virtud de la ecuación :



el trabajo realizado en la evolución es el área comprendida entre la curva, las ordenadas extremas V₁ y V₂ y el eje de volúmenes. Como es natural, este trabajo dependerá de la relación que ligue a p con V. Por otro lado, sabemos que, matemáticamente, el área de una figura plana puede calcularse por la expresión :



donde C es el contorno que limita a la figura plana. Tendríamos así una integral curvilínea de la forma :



y sabemos que para que esa integral no dependa del camino de integración es necesario y suficiente que exista una función de dos variables, G(x,y), tal que su diferencial total sea la expresión integrante :

dG = M(x, y)dx + N(x, y)dy ⇒ M = (∂G / ∂x) ; N = (∂G / ∂y)

En estas condiciones, el criterio necesario y suficiente de la función primitiva es que se verifique :

(∂M / ∂y) = (∂N / ∂x)

considerando el problema físico, podemos tomar las funciones p = p(V,T) ; V = V(T) y escribir, como en el caso teórico:

(∂p / ∂V)   ;   (∂V / ∂T)

pero hemos dicho que para los mismos estados inicial y final existe un número infinito de transformaciones que nos permiten pasar de un estado a otro y cada una de ellas representa una posible relación entre la presión y el volumen. Así pues, podemos decir que, en general δW = pdV no será una diferencial exacta.

b) Podemos escribir :



ya que, matemáticamente, se verifica :



De ese modo, la razón de Grüneisen se escribirá :



Por otro lado, la capacidad calorífica a volumen constante viene dada por C_v = (∂V / ∂T)_v , en consecuencia :



como queríamos demostrar.

c) supongamos que la razón de Grüneisen es función de T y p, es decir, que en general se cumple . Para el caso en el que la expresión no dependa de p, podremos escribir :



Con lo que la ecuación de estado mas general para un fluido que verifique la anterior expresión será :



y puesto que C _v , K _p y pueden determinarse experimentalmente, esta ecuación será válida para el caso en que la razón de Grüneisen no dependa de p.