PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica

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Ejercicios de termodinámica - Respuesta al ejercicio 1
Si p, V y t están relacionadas mediante la ecuación de estado, G(p,V,t) = 0, cualquiera de ellas podrá escribirse en función de las otras dos :

    \( \displaystyle \begin{array}{l} dV = \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_tdp + \left(\frac{\partial V}{\partial t}\right)_pdt \quad (A) \\  \\ dp = \left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_tdV + \left(\frac{\partial p}{\partial t}\right)_Vdt\quad (B) \end{array}\)

Por otro lado, considerando el enunciado, podemos plantear las siguientes ecuaciones :
    Cvdt + lvdV = Cpdt + lpdp     (a)

    Cvdt + lvdV = mpdV + mpdp     (b)

    Cpdt + lpdp = mvdv + mpdp     (c)

tomando las ecuaciones (a) y (c) despejamos de cada una de ellas dV :

    \( \displaystyle (a') dV = \frac{C_p -C_v}{l_v}dt +\frac{l_p}{l_v}dp \quad (c') \quad dV = \frac{C_p }{m_v}dt +\frac{l_p-m_p}{m_v}dp \)

y puesto que los coeficientes de las diferenciales deben coincidir, podemos poner, comparando (A) con (a') y (c')

    \( \displaystyle \left(\frac{\partial V}{\partial t}\right)_p = \frac{C_p -C_v}{l_v} = \frac{C_p}{m_v} \Rightarrow m_V = \frac{l_vC_p}{C_p - C_v} \quad (*) \)

Análogamente, de las ecuaciones (a) y (b) podemos despejar dp :

    \( \displaystyle \begin{array}{l} (a") \quad dp = - \frac{C_p - C_v}{l_p}dt + \frac{l_v}{l_p}dV \; ; \\  \\ \; (b") \quad dp = - \frac{C_p }{m_p}dt + \frac{l_v- m_v}{m_p}dV \end{array}\)

y haciendo como en el caso anterior pero comparando (B) con (a") y (b") :

    \( \displaystyle \left(\frac{\partial p}{\partial t}\right)_p = \frac{C_p -C_v}{l_v} = \frac{C_v}{m_p} \Rightarrow m_p =- \frac{l_pC_V}{C_p - C_v} \quad (**) \)

Para obtener el último resultado del apartado (I), ponemos dV en la forma :

    \( \displaystyle dV = \frac{C_p}{m_v}dt + \frac{l_p - m_p}{m_v}\left[- \frac{C_p - C_v}{l_p}dt + \frac{l_v}{l_p}dV\right] \)

y reagrupando términos :

    \( \displaystyle dV = \left[\frac{C_p}{m_V}- \frac{(l_p - m_p)(C_p - C_v)}{m_Vl_p}\right]dt + \frac{l_p-m_p}{m_V}·\frac{l_V}{l_p}dV \)

por lo que igualando los coeficientes para dV :

    \( \displaystyle \frac{l_p - m_p}{m_v}·\frac{l_v}{l_p} = 1 \Rightarrow \frac{l_p - m_p}{l_p} = \frac{m_v}{l_V}\Rightarrow \frac{m_v}{l_V}+ \frac{m_p}{l_p}= 1 \)

El apartado (II) ya está demostrado en las operaciones precedentes y lo hemos señalado con (*) y con (**). Por último, de la expresión (1) del enunciado podemos obtener :

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{\delta Q}{dt} = C_v + l_v·\frac{dV}{dt} \Rightarrow \left.\frac{\delta Q}{dt}\right|_V = C_v \; ; \\  \\ \frac{\delta Q}{dt} = C_p + l_p·\frac{dp}{dt} \Rightarrow \left.\frac{\delta Q}{dt}\right|_p = C_p \end{array}\)

y los coeficientes Cv y Cp son, respectivamente, el calor específico a volumen constante y el calor específico a presión constante. Análogamente :

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{\delta Q}{dV} = C_v ·\frac{dt}{dV} + l_v \Rightarrow \left.\frac{\delta Q}{dV}\right|_t = l_v \; ; \\  \\ \frac{\delta Q}{dp} = C_p ·\frac{dt}{dp} + l_p \Rightarrow \left.\frac{\delta Q}{dp}\right|_p = l_p \end{array}\)

por lo que lv y lp serán, respectivamente, los coeficientes que expresan la variación de calor del sistema cuando se varía isotérmicamente el volumen o la presión de éste. Finalmente :

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{\delta Q}{dV} = m_v + m_p ·\frac{dp}{dV} + \Rightarrow \left.\frac{\delta Q}{dV}\right|_p = m_v \; ; \\  \\ \; \frac{\delta Q}{dp} = m_v·\frac{dV}{dp} + m_p \Rightarrow \left.\frac{\delta Q}{dp}\right|_V = m_p \end{array} \)

y podemos interpretar mv y mp como los coeficientes que expresan las variaciones de calor en un cambio isobárico de volumen o en un cambio isostático de presión, respectivamente.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TERMODINÁMICA FÍSICA PARA CIENCIAS E INGENIERÍA
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tema escrito por: José Antonio Hervás