PROBLEMAS RESUELTOS
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Ejercicios de termodinámica

Para un fluido y otros materiales simples, la presión p, el volumen V y la temperatura empírica t son posibles variables . Estas variables están conectadas mediante una ecuación llamada de estado, de manera que solo dos son independientes. Un incremento de calor suministrado al sistema de forma cuasiestática se puede expresar como :
    \( \delta Q = C_vdt + l_vdV = C_pdt + l_pdp = m_vdV + m_pdp \;(1) \)
Donde los coeficientes son funciones características del fluido. El término temperatura empírica se refiere a una escala arbitraria y se usa para distinguirlo de la temperatura absoluta. Demostrar que :

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    m_v = \frac{l_vC_p}{C_p - C_v} \; ; \;m_p = \frac{l_pC_v}{C_p - C_v} \\
     \\ \frac{m_v}{l_v}+\frac{m_p}{l_p} =1 \quad (I) \\  \\
    \left(\frac{\partial p}{\partial t}\right)_V = - \frac{C_p - C_v}{l_p} \\  \\\left(\frac{\partial V}{\partial t}\right)_p = - \frac{C_p - C_v}{l_v} \quad (II)
    \end{array} \)
Expresar con palabras los significados físicos de los coeficientes de la expresión (1) para δQ

- Respuesta al ejercicio 1
Si p, V y t están relacionadas mediante la ecuación de estado, G(p,V,t) = 0, cualquiera de ellas podrá escribirse en función de las otras dos :

    \( \displaystyle \begin{array}{l} dV = \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_tdp + \left(\frac{\partial V}{\partial t}\right)_pdt \quad (A) \\  \\ dp = \left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_tdV + \left(\frac{\partial p}{\partial t}\right)_Vdt\quad (B) \end{array}\)

Por otro lado, considerando el enunciado, podemos plantear las siguientes ecuaciones :
    Cvdt + lvdV = Cpdt + lpdp     (a)

    Cvdt + lvdV = mpdV + mpdp     (b)

    Cpdt + lpdp = mvdv + mpdp     (c)

tomando las ecuaciones (a) y (c) despejamos de cada una de ellas dV :

    \( \displaystyle (a') dV = \frac{C_p -C_v}{l_v}dt +\frac{l_p}{l_v}dp \quad (c') \quad dV = \frac{C_p }{m_v}dt +\frac{l_p-m_p}{m_v}dp \)

y puesto que los coeficientes de las diferenciales deben coincidir, podemos poner, comparando (A) con (a') y (c')

    \( \displaystyle \left(\frac{\partial V}{\partial t}\right)_p = \frac{C_p -C_v}{l_v} = \frac{C_p}{m_v} \Rightarrow m_V = \frac{l_vC_p}{C_p - C_v} \quad (*) \)

Análogamente, de las ecuaciones (a) y (b) podemos despejar dp :

    \( \displaystyle \begin{array}{l} (a") \quad dp = - \frac{C_p - C_v}{l_p}dt + \frac{l_v}{l_p}dV \; ; \\  \\ \; (b") \quad dp = - \frac{C_p }{m_p}dt + \frac{l_v- m_v}{m_p}dV \end{array}\)

y haciendo como en el caso anterior pero comparando (B) con (a") y (b") :

    \( \displaystyle \left(\frac{\partial p}{\partial t}\right)_p = \frac{C_p -C_v}{l_v} = \frac{C_v}{m_p} \Rightarrow m_p =- \frac{l_pC_V}{C_p - C_v} \quad (**) \)

Para obtener el último resultado del apartado (I), ponemos dV en la forma :

    \( \displaystyle dV = \frac{C_p}{m_v}dt + \frac{l_p - m_p}{m_v}\left[- \frac{C_p - C_v}{l_p}dt + \frac{l_v}{l_p}dV\right] \)

y reagrupando términos :

    \( \displaystyle dV = \left[\frac{C_p}{m_V}- \frac{(l_p - m_p)(C_p - C_v)}{m_Vl_p}\right]dt + \frac{l_p-m_p}{m_V}·\frac{l_V}{l_p}dV \)

por lo que igualando los coeficientes para dV :

    \( \displaystyle \frac{l_p - m_p}{m_v}·\frac{l_v}{l_p} = 1 \Rightarrow \frac{l_p - m_p}{l_p} = \frac{m_v}{l_V}\Rightarrow \frac{m_v}{l_V}+ \frac{m_p}{l_p}= 1 \)

El apartado (II) ya está demostrado en las operaciones precedentes y lo hemos señalado con (*) y con (**). Por último, de la expresión (1) del enunciado podemos obtener :

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{\delta Q}{dt} = C_v + l_v·\frac{dV}{dt} \Rightarrow \left.\frac{\delta Q}{dt}\right|_V = C_v \; ; \\  \\ \frac{\delta Q}{dt} = C_p + l_p·\frac{dp}{dt} \Rightarrow \left.\frac{\delta Q}{dt}\right|_p = C_p \end{array}\)

y los coeficientes Cv y Cp son, respectivamente, el calor específico a volumen constante y el calor específico a presión constante. Análogamente :

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{\delta Q}{dV} = C_v ·\frac{dt}{dV} + l_v \Rightarrow \left.\frac{\delta Q}{dV}\right|_t = l_v \; ; \\  \\ \frac{\delta Q}{dp} = C_p ·\frac{dt}{dp} + l_p \Rightarrow \left.\frac{\delta Q}{dp}\right|_p = l_p \end{array}\)

por lo que lv y lp serán, respectivamente, los coeficientes que expresan la variación de calor del sistema cuando se varía isotérmicamente el volumen o la presión de éste. Finalmente :

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{\delta Q}{dV} = m_v + m_p ·\frac{dp}{dV} + \Rightarrow \left.\frac{\delta Q}{dV}\right|_p = m_v \; ; \\  \\ \; \frac{\delta Q}{dp} = m_v·\frac{dV}{dp} + m_p \Rightarrow \left.\frac{\delta Q}{dp}\right|_V = m_p \end{array} \)

y podemos interpretar mv y mp como los coeficientes que expresan las variaciones de calor en un cambio isobárico de volumen o en un cambio isostático de presión, respectivamente.
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tema escrito por: José Antonio Hervás