PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización matemática

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Ejercicios de optimización matemática

Dóblese un alambre metálico de longitud m de tal modo que forme un rectángulo cuya área sea máxima.

Respuesta para el ejercicio 50

Si a partir de un alambre metálico de longitud m tenemos que formar un rectángulo, se deberá verificar:

    \( m = 2x + 2y\)

Siendo x e y las longitudes respectivas de cada uno de los lados del rectángulo formado.

Si el área del rectángulo formada tiene que ser máxima en comparación con la de otros rectángulos posibles, deberemos optimizar la función:

    \( \displaystyle A = xy = x\left( \frac{m - x}{2}\right)\)

Para lo cual deberá anularse su derivada primera. Así:

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{dA}{dx} = \frac{d}{dx}\left[ x \left( \frac{m - x}{2} \right) \right] = 0 \Rightarrow\\
     \\
    \Rightarrow \frac{m - 2x}{2} - \frac{2x}{2} = \frac{m - 4x}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{m}{4}
    \end{array}\)

Y podemos confirmar que efectivamente tenemos un máximo, puesto que su segunda derivada:

    \( \displaystyle \frac{d^2A}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left( \frac{m - 4x}{2}\right) = -2 \)

es negativa.

Resumiendo, podemos decir que el rectángulo a formar deberá ser un cuadrado de lado m/4.

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tema escrito por: José Antonio Hervás