PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización

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Problemas de optimización

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Ejercicios de optimización matemática

Respuesta para el ejercicio 49

Si queremos construir un depósito abierto con fondo cuadrado y paredes rectangulares, con capacidad para V litros, podemos escribir

    \( V = x^2y\)

Los metros cuadrados de material necesarios para la construcción del depósito serán:

    \( \displaystyle S = x^2 + 4xy = x^2 + \frac{4V}{x^2} = x^2 + \frac{4V}{x}\)

Esta expresión tendrá un mínimo cuando su derivada primera se anule; de ese modo:

    \( \displaystyle \frac{dS}{dx} = \frac{d}{dx}\left(x^2 + \frac{4V}{x}\right) = 0 \Rightarrow 2x - \frac{4V}{x^2} = 0\Rightarrow x^3 = 2V \)

Y podemos afirmar que realmente se trata de un mínimo puesto que su derivada segunda:

    \( \displaystyle \frac{d^2S}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(2x - \frac{4V}{x^2}\right) = 2 + \frac{8V}{x^3} = 2 + \frac{8V}{2V} = 6\)

es positiva.

Si ponemos el valor obtenido para V en la primera de las ecuaciones planteadas, resulta:

    \( V = \displaystyle x^2y = \frac{x^3}{2} \Rightarrow y = \frac{x}{2}\)
Es decir , la altura del depósito deberá ser la mitad del lado de la base
EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás