PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización

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Problemas de optimización

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Ejercicios de optimización matemática

Respuesta para el ejercicio 48

Consideremos el esquema adjunto

cilindro inscrito en cono

en el que h es la altura del cono circular recto de radio r en el que está inscrito el cilindro de altura a y radio b, siendo \( \alpha \) el ángulo para el que se cumple:

    \( \displaystyle \tan \alpha = \frac{h}{r} = \frac{h-a}{b} \)

El volumen del cilindro viene dado por la expresión \(V_c = \pi b^2a \), que teniendo en cuenta la ecuación anterior, puede escribirse:

    \( \displaystyle V_c = \pi b^2 a = \pi b^2\left(h - \frac{h}{r}b\right) = \pi b^2 h - \pi \frac{h}{r}b^3\)

Este volumen será máximo cuando su derivada respecto a \(b\) sea nula. Así, tenemos:

    \( \displaystyle \frac{dV_c}{db} = 2 \pi b h - 3\pi \frac{h}{r}b^2 = 0 \Rightarrow b = \frac{2}{3}r\)

Para ese valor del radio del cilindro, el volumen de este vale:

    \( \displaystyle \frac{4}{9} \pi \, r^2 h - \frac{8}{27} \pi \, r^2 h = \frac{4}{27}\pi \, r^2 h = \frac{4}{9} \frac{1}{3} \pi \, r^2 h = \frac{4}{9} V_{cono}\)
EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás