PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de optimización matemática

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Ejercicios de optimización matemática

Hallar la altura del cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en un cono circular recto de altura h.

Respuesta para el ejercicio 48

Consideremos el esquema adjunto

cilindro inscrito en cono

en el que h es la altura del cono circular recto de radio r en el que está inscrito el cilindro de altura a y radio b, siendo \( \alpha \) el ángulo para el que se cumple:

    \( \displaystyle \tan \alpha = \frac{h}{r} = \frac{h-a}{b} \)

El volumen del cilindro viene dado por la expresión \(V_c = \pi b^2a \), que teniendo en cuenta la ecuación anterior, puede escribirse:

    \( \displaystyle V_c = \pi b^2 a = \pi b^2\left(h - \frac{h}{r}b\right) = \pi b^2 h - \pi \frac{h}{r}b^3\)

Este volumen será máximo cuando su derivada respecto a \(b\) sea nula. Así, tenemos:

    \( \displaystyle \frac{dV_c}{db} = 2 \pi b h - 3\pi \frac{h}{r}b^2 = 0 \Rightarrow b = \frac{2}{3}r\)

Para ese valor del radio del cilindro, el volumen de este vale:

    \( \displaystyle \frac{4}{9} \pi \, r^2 h - \frac{8}{27} \pi \, r^2 h = \frac{4}{27}\pi \, r^2 h = \frac{4}{9} \frac{1}{3} \pi \, r^2 h = \frac{4}{9} V_{cono}\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás