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ejercicios resueltos de optimización matemática

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Ejercicios de optimización matemática

De todos los rectángulos de igual perímetro \( 2p\) determinar las dimensiones del de área máxima.

Respuesta para el ejercicio 47

A partir de la ecuación que nos da el valor del perímetro de un rectángulo en función de sus lados, podemos escribir:
    \( 2p = 2x + 2y \Rightarrow x+y = p \Rightarrow y = p-x\)

Y de ese modo tendremos para el área del rectángulo:

    \( A = x y = x(p-x) = px - x^2\)

Y si dicha área ha de ser máxima:

    \( \displaystyle \frac{dA}{dx} = p - 2x = 0 \Rightarrow 2x = p \Rightarrow x = p/2\)

Teniendo en cuenta la primera de las ecuaciones, deducimos que el valor de la otra dimensión es:

    \( \displaystyle y = p-x = p - \frac{p}{2} = \frac{p}{2} \)
Lo que significa que el rectángulo de área máxima para un perímetro dado es el que tieen los dos lados iguales, es decir, un cuadrado.
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tema escrito por: José Antonio Hervás