PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización

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Problemas de optimización

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Ejercicios de optimización matemática

Respuesta para el ejercicio 46

Se trata de construir un corral rectangular de \( 200 m^2 \) cuyos lados respectivos denotaremos por \(x \) e \(y\). De ese modo, podremos escribir:
    \( S = x y = 200 \)

Como nos dicen que el coste del corral tiene que ser mínimo, entendemos que tenemos que considerar la cantidad mínima de metros lineales de tela metálica. Como no necesitamos considerar uno de los lados del corral para considerar el consumo de tela, por tener a nuestra disposición un muro ya construido, la función a minimizar será:

    \( L = 2x + y\)

Y teniendo en cuenta la primera de las ecuaciones:

    \( \displaystyle L = 2x + y = 2x + \frac{200}{x} \Rightarrow L\,' = x + \frac{100}{x}\)

El valor mínimo de L' (o lo que es igual de L) vendrá dado cuando se anule su primera derivada, es decir:

    \( \displaystyle \frac{dL\,'}{dx} = \frac{d}{dx}\left(x + \frac{100}{x}\right) = 1 - \frac{100}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 - 100 = 0 \Rightarrow x = \pm 10\)
Y a partir de la primera ecuación, obtenemos:
    \( \displaystyle S = x y = 200 \Rightarrow y = \frac{200}{x} = \frac{200}{10} = 20\)
Es decir, los metros lineales de tela metálica que debemos usar para un coste mínimo son 40 distribuidos en \(x + x + y = 10 + 10 + 20 \).
EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás