PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de optimización matemática

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Ejercicios de optimización matemática

Aprovechando un largo muro de altura adecuada, queremos construir un corral rectangular de 200 metros cuadrados y para ello hemos pensado cerrar con tela metálica los tres lados restantes de una superficie rectangular para la que el muro será una de las paredes. Calcular las dimensiones de dicha superfcie rectangular para que el coste del corral sea mínimo.

Respuesta para el ejercicio 46

Se trata de construir un corral rectangular de \( 200 m^2 \) cuyos lados respectivos denotaremos por \(x \) e \(y\). De ese modo, podremos escribir:
    \( S = x y = 200 \)

Como nos dicen que el coste del corral tiene que ser mínimo, entendemos que tenemos que considerar la cantidad mínima de metros lineales de tela metálica. Como no necesitamos considerar uno de los lados del corral para considerar el consumo de tela, por tener a nuestra disposición un muro ya construido, la función a minimizar será:

    \( L = 2x + y\)

Y teniendo en cuenta la primera de las ecuaciones:

    \( \displaystyle L = 2x + y = 2x + \frac{200}{x} \Rightarrow L\,' = x + \frac{100}{x}\)

El valor mínimo de L' (o lo que es igual de L) vendrá dado cuando se anule su primera derivada, es decir:

    \( \displaystyle \frac{dL\,'}{dx} = \frac{d}{dx}\left(x + \frac{100}{x}\right) = 1 - \frac{100}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 - 100 = 0 \Rightarrow x = \pm 10\)
Y a partir de la primera ecuación, obtenemos:
    \( \displaystyle S = x y = 200 \Rightarrow y = \frac{200}{x} = \frac{200}{10} = 20\)
Es decir, los metros lineales de tela metálica que debemos usar para un coste mínimo son 40 distribuidos en \(x + x + y = 10 + 10 + 20 \).
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tema escrito por: José Antonio Hervás