PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización

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Problemas de optimización

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Ejercicios de optimización matemática

Respuesta para el ejercicio 45

La superficie lateral de un cono circular recto viene dada por la expresión:
    \( A = \displaystyle \pi r g = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}\)

Siendo r el radio de la base y h la altura del cono

Por otro lado, el volumen del cono se obtiene por la ecuación:

    \( \displaystyle V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)

que contiene dos variables, el radio r y la altura h. Sabiendo que en la expresión de la superficie lateral también tenemos ambas variables y que dicho parámetro es constante en las condiciones del problema planteado, podemos escribir una en función de la otra:

    \( \displaystyle A = \pi r g = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} \Rightarrow A^2 = \pi^2 r^2 (r^2 + h^2) \Rightarrow h^2 = \frac{A^2}{\pi^2 r^2} - r^2 \)

Y sustituyendo en la expresión que nos da el volumen:

    \( \displaystyle V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 \sqrt{\frac{A^2}{\pi^2 r^2} - r^2}\)
El volumen máximo se dará cuando su primera derivada respecto a r se anule, es decir:
    \( \displaystyle \frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr}\left[\frac{1}{3} \pi r^2 \sqrt{\frac{A^2}{\pi^2 r^2} - r^2} \,\right] = \frac{2}{3} \pi^2 r \sqrt{\frac{A^2}{\pi^2 r^2} - r^2} + \)


    \( \displaystyle \begin{array}{l} + \frac{1}{3} \pi^2 r^2 \left(\frac{1}{2} \frac{\displaystyle \left(- \frac{2A^2}{\pi^2 r^3} - 2r\right)}{\displaystyle \sqrt{\frac{A^2}{\pi^2 r^2} - r^2}}\right) = 0 \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow 2r \sqrt{\frac{A^2}{\pi^2 r^2} - r^2} - \frac{\displaystyle \left(\frac{A^2}{\pi^2 r} + r^3\right)}{\displaystyle \sqrt{\frac{A^2}{\pi^2 r^2} - r^2}} = 0 \end{array}\)
Y operando:
    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    2r \left( \frac{A^2}{\pi^2 r^2} - r^2\right) = \frac{A^2}{\pi^2 r} + r^3 \Rightarrow \frac{2A^2}{\pi^2 r} - 2r^3 = \\
     \\
    = \frac{A^2}{\pi^2 r} + r^3 \Rightarrow \frac{A^2}{\pi^2 r} = 3 r^3 \Rightarrow \frac{A^2}{\pi^2 r} = 3 r^2 \Rightarrow A = \sqrt{3} \pi r^2
    \end{array} \)

Sustituyendo en la expresión general de la superficie lateral:
    \( \displaystyle A = \sqrt{3} \pi r^2 = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} \Rightarrow \sqrt{3} r = \sqrt{r^2 + h^2}\)
Y elevando al cuadrado:
    \( \displaystyle 3 r^2 = r^2 + h^2 \Rightarrow 2 r^2 = h^2 \Rightarrow 2 = \frac{h^2}{r^2} \Rightarrow \frac{h}{r} = \sqrt{2}\)
Como queríamos demostrar
EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás