PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización

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Problemas de optimización

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Ejercicios de optimización matemática

Respuesta para el ejercicio 44

Se trata de calcular en los tres ejemplos dados, las derivadas primera y segunda de las funciones y estudiar sus comportamientos, Sabemos que en un punto estacionario (máximo, mínimo o punto de inflexión) la primera derivada de una función se anula y la segunda tiene un valor negativo, positivo o nulo dependiendo de que el punto estacionario sea un valor máximo, mínimo o un punto de inflexión. Con todo lo indicado, para la primera de las ecuaciones tenemos:
    \( \displaystyle y = x^3 - 3x^2 + 3x \, ; \, \frac{dy}{dx} = 0 \, ; \, 3x^2 - 6x + 3 = 0 \, ; \, x_{1, 2} = 1\)

Con lo que resulta un punto doble para el que se cumple:

    \( \displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = 6x - 6 \qquad \) puntos de inflexión

Para la segunda de las ecuaciones podemos escribir:

    \( \displaystyle y = - 3x^2 + x + 1 \, ; \, \frac{dy}{dx} = 0 \, ; \, - 6x + 1 = 0 \, ; \, x_1 = 1/6 \)

Y a partir de ahí:

    \( \displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = - 6 \qquad \) por lo tanto tenemos un máximo en x = 1/6
Y cuya coordenada y viene dada por:
    \( \displaystyle \left. y\right|_{x = 1/6} = - \frac{3}{36} + \frac{1}{6} + 1 = \frac{13}{12} \)
Por último, para la tercera de las funciones dadas hacemos:

    \( \displaystyle \begin{array}{l} y = x^3 - 2x^2 + x + 1 \quad ; \quad \frac{dy}{dx} = 0 \quad ; \\  \\ 3x^2 - 4x + 1 = 0 \quad ; \quad x_1 = 1 \quad ; \quad x_2 = 1/3 \end{array}\)

Y para la segunda derivada se verifica:
    \( \displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = 6x - 4 \quad \Rightarrow \quad \left. \frac{d^2y}{dx^2} \right|_{x = 1} = 6 \times 1 - 4 = 2 \) valor positivo, extremo mínimo

    \( \displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = 6x - 4 \quad \Rightarrow \quad \left. \frac{d^2y}{dx^2} \right|_{x = 1/3} = 6 \times \frac{1}{3} - 4 = -2 \) valor negativo, extremo máximo
Y los valores correspondientes de y serán y = 1 para el mínimo en x = 1 e y = 31/27 para el máximo en x = 1/3
EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás