PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización

Ver enunciado del ejercicio en:

Problemas de optimización

Estás en : Matemáticas y Poesía > Problemas resueltos

 

Ejercicios de optimización matemática

Respuesta para el ejercicio 41

Consideremos la función dada:
    \( y^3 = 6xy - x^3 - 1\)
Y derivemos respecto de la variable x; tendremos:
    \(\displaystyle 3y^2 \frac{dy}{dx} = 6y + 6x \frac{dy}{dx} - 3x^2\)
Y operando algebraicamente :
    \(\displaystyle (3y^2 - 6x)\frac{dy}{dx} = 6y - 3x^2 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x} = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}\)
Sabemos, por otra parte, que los puntos máximos y mínimos la derivada de una función se anula; por lo tanto, podemos escribir:
    \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x} = 0 \Rightarrow 2y - x^2 = 0 \Rightarrow y = x^2/2\)
Sustituyendo el valor obtenido para la variable y en la ecuación inicial obtenemos::
    \((x^2/2)^3 = 6x(x^2/2) - x^3 -1 \Rightarrow x^6 = 16x^3 - 8\)

Haciendo \( r = x^3 \) nos queda:

    \(r^2 - 16r + 8 = 0 \Rightarrow r = 8 \pm 2 \sqrt{14}\)

y en los puntos \( x^3 = r = 8 \pm 2 \sqrt{14} \) tendremos valores estacionarios para la función y. Para saber si dichos valores corresponden a máximos y/o mínimos la segunda derivada de y debe ser, respectivamente, negativa (para un máximo) y positiva (para un mínimo. Calculamos así la segunda derivada de y partiendo de lo ya obtenido:

    \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x} \Rightarrow \left. \frac{d^2y}{dx^2}\right|_{x^3 = r} = - \frac{2x}{y^2 - 2x} = - \frac{8}{x^3 - 8}\)

Donde hemos tenido en cuenta que en el punto analizado tenemos:

    \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = 0 \quad ; \quad 2y - x^2 = 0 \)

De ahí que resulte, para \(x^3 = 8 + 2 \sqrt{14} \)

    \(\displaystyle - \frac{8}{x^3 - 8} = - \frac{8}{8 + 2 \sqrt{14} - 8} = - \frac{8}{2 \sqrt{14}}\)

Y tenemos un valor negativo que corresponderá a un máximo de la función estudiada.

Análogamente, para \(x^3 = 8 - 2 \sqrt{14} \)

    \(\displaystyle - \frac{8}{x^3 - 8} = - \frac{8}{8 - 2 \sqrt{14} - 8} = - \frac{8}{- 2 \sqrt{14}} = \frac{8}{ 2 \sqrt{14}}\)

Y tenemos un valor positivo que corresponderá a un mínimo de la función estudiada.

EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás