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ejercicios resueltos de optimización matemática

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Ejercicios de optimización matemática

Con una cartulina cuadrada de 18 cm² de lado, se desea construir una caja y para ello se corta un pequeño cuadrado en cada esquina de la cartulina, doblando las solapas resultantes. Calcular el lado de cada cuadrado para que la caja tenga el mayor volumen posible.

Respuesta para el ejercicio 40

Consideremos el esquema adjunto:

Lámina para recortar una caja

El volumen de la caja resultante vendrá dado por la expresión:
    \( V = (18 - 4a^2)a = 18a - 4a^3\)
Para calcular el máximo de esta función obtenemos su derivada e igualamos a cero:
    \(\displaystyle \frac{dV}{da} = 18 - 12a^2 = 0 \Rightarrow 3 - 2a^2 = 0 \Rightarrow a^2 = \frac{3}{2} \Rightarrow a = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}\)
Es fácil comprobar que el valor que nos da el volumen máximo es \( a = + \sqrt{3/2} \) ya que el valor negativo no tiene significado físico en el contexto de este problema.
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tema escrito por: José Antonio Hervás