PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización matemática

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Problemas de optimización

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Ejercicios de optimización matemática

Un rectángulo tiene A m² de superficie. Calcular sus dimensiones para que, siendo constante su superficie, el perímetro sea mínimo.

Respuesta para el ejercicio 39

Tenemos un problema de optimización en el que tenemos que minimizar la función:
    \( p = 2a + 2b\)
Con la restricción:
    \( a \times b = A = Cte\)
Siendo a y b los lados del rectángulo, p su perímetro y A su área.
Despejando b de la segunda ecuación:
    \( \displaystyle a \times b = A \rightarrow b = \frac{A}{a}\)
Y sustituyendo en la primera:
    \( \displaystyle p = 2a + 2b = 2a + \frac{2A}{a}\)
Para encontrar el mínimo de esta función obtenemos su derivada e igualamos a cero:
    \( \displaystyle p\, ' = 2 - \frac{2A}{a^2} = 0 \)
Y resolviendo:
    \( \displaystyle 2 - \frac{2A}{a^2} = 0 \rightarrow 2a^2 - 2A = 0 \rightarrow a = \pm \sqrt{A}\)
El valor negativo no tiene significado físico, por lo que las dimensiones buscadas serán:
    \( \displaystyle a = \sqrt{A} \rightarrow b = \frac{A}{a} = \frac{A}{ \sqrt{A}} = \sqrt{A} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás