PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización

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Problemas de optimización

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Ejercicios de optimización matemática

Respuesta para el ejercicio 39

Tenemos un problema de optimización en el que tenemos que minimizar la función:
    \( p = 2a + 2b\)
Con la restricción:
    \( a \times b = A = Cte\)
Siendo a y b los lados del rectángulo, p su perímetro y A su área.
Despejando b de la segunda ecuación:
    \( \displaystyle a \times b = A \rightarrow b = \frac{A}{a}\)
Y sustituyendo en la primera:
    \( \displaystyle p = 2a + 2b = 2a + \frac{2A}{a}\)
Para encontrar el mínimo de esta función obtenemos su derivada e igualamos a cero:
    \( \displaystyle p\, ' = 2 - \frac{2A}{a^2} = 0 \)
Y resolviendo:
    \( \displaystyle 2 - \frac{2A}{a^2} = 0 \rightarrow 2a^2 - 2A = 0 \rightarrow a = \pm \sqrt{A}\)
El valor negativo no tiene significado físico, por lo que las dimensiones buscadas serán:
    \( \displaystyle a = \sqrt{A} \rightarrow b = \frac{A}{a} = \frac{A}{ \sqrt{A}} = \sqrt{A} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás