Ejercicios de optimización matemática
Calcular las proporciones más económicas de una lata cilíndrica
de V cm
3 de volumen.
Respuesta para el ejercicio 37
Las proporciones más económicas se corresponderán
con aquellas que den una superficie total mínima. Por lo
tanto, si consideramos una lata cilíndrica de radio de
la base r y altura h, la superficie total de dicho objeto será:
\(S = S_L + S_B \rightarrow S = 2 \pi r h + 2 \pi r^2 \qquad
(\ast) \)
Y su volumen vendrá dado por:
Expresión de la que podemos despejar h:
\(\displaystyle V = \pi r^2 h \rightarrow h = \frac{V}{\pi r^2}\)
Que sustituida en (*) da:
\( \displaystyle S = S_L + S_B \rightarrow S = 2 \pi r \frac{V}{\pi
r^2} + 2 \pi r^2 = \frac{2V + 2 \pi r^3}{r}\)
Si consideramos que la función S ha de ser mínima
para un volumen V constante, debemos calcular su derivada e igualar
a cero:
\( \displaystyle S\, ' = \frac{4 \pi r^3 - 2V}{r^2} = 0 \rightarrow
4 \pi r^3 - 2V = 0 \rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}\)
Para saber si el valor obtenido se corresponde con un máximo
o un mínimo deberíamos obtener la segunda derivada
de S y estudiar el comportamiento de dicha función en el
entorno de dicho valor; sin embargo, como el cálculo de
la superficie máxima no tiene sentido en este caso, dicho
estudio no es necesario y concluimos que el valor resultante de
r da un mínimo para S.
Con el valor dado de r y teniendo en cuenta que V es constante,
tenemos para h:
\( \displaystyle h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{V}{ \displaystyle
\pi \left(\sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}} \right)^2} = \sqrt[3]{\frac{4V}{
\pi}} = 2r \)