PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización

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Problemas de optimización

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Ejercicios de optimización matemática

Respuesta para el ejercicio 37

Las proporciones más económicas se corresponderán con aquellas que den una superficie total mínima. Por lo tanto, si consideramos una lata cilíndrica de radio de la base r y altura h, la superficie total de dicho objeto será:
    \(S = S_L + S_B \rightarrow S = 2 \pi r h + 2 \pi r^2 \qquad (\ast) \)
Y su volumen vendrá dado por:
    \(V = \pi r^2 h\)
Expresión de la que podemos despejar h:
    \(\displaystyle V = \pi r^2 h \rightarrow h = \frac{V}{\pi r^2}\)
Que sustituida en (*) da:
    \( \displaystyle S = S_L + S_B \rightarrow S = 2 \pi r \frac{V}{\pi r^2} + 2 \pi r^2 = \frac{2V + 2 \pi r^3}{r}\)
Si consideramos que la función S ha de ser mínima para un volumen V constante, debemos calcular su derivada e igualar a cero:
    \( \displaystyle S\, ' = \frac{4 \pi r^3 - 2V}{r^2} = 0 \rightarrow 4 \pi r^3 - 2V = 0 \rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}\)
Para saber si el valor obtenido se corresponde con un máximo o un mínimo deberíamos obtener la segunda derivada de S y estudiar el comportamiento de dicha función en el entorno de dicho valor; sin embargo, como el cálculo de la superficie máxima no tiene sentido en este caso, dicho estudio no es necesario y concluimos que el valor resultante de r da un mínimo para S.

Con el valor dado de r y teniendo en cuenta que V es constante, tenemos para h:
    \( \displaystyle h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{V}{ \displaystyle \pi \left(\sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}} \right)^2} = \sqrt[3]{\frac{4V}{ \pi}} = 2r \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás