PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización

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Problemas de optimización

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Ejercicios de optimización matemática

Respuesta para el ejercicio 36

Para calcular las coordenadas de los puntos de la parábola dada en el enunciado al punto indicado, comenzamos por anotar la expresión general de la distancia entre dos puntos del plano:
    \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
Y tomando para uno de los puntos genéricos las coordenadas del punto P(6, 0), tendremos:
    \(d = \sqrt{(x - 6)^2 + (y - 0)^2}\Rightarrow d = \sqrt{(x - 6)^2 + y^2}\)
Pero si los puntos buscados han de pertenecer a la parábola, resultará que han de cumplir su ecuación; de ese modo :
    \( \begin{array}{l} d = \sqrt{(x - 6)^2 + y^2} \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow d = \sqrt{(x - 6)^2 + 8x} \Rightarrow d = \sqrt{x^2 - 4x + 36} \end{array} \)
Para que el valor de esta expresión sea mínimo, ha de anularse su derivada:
    \(d\,' = \displaystyle \frac{2x - 4}{ \sqrt{x^2 - 4x + 36}} = 0 \Rightarrow x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
El valor obtenido podría corresponder, en principio, a un máximo o a un mínimo, pero en este caso, al estar considerándo una parábola, los valores máximos no tienen sentido y podemos establecer que el valor resultante corresponde a un mínimo; calculamos entonces la ordenada de los puntos buscados:
    \(x = 2 \Rightarrow y = \sqrt{8x} = \sqrt{8\times 2} = \sqrt{16} \Rightarrow y = \pm 4\)
Y, de ese modo, los puntos de la parábola de distancia mínima al punto (6, 0) son (2, 4) y (2, -4)
EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás