PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización

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Problemas de optimización

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Ejercicios de optimización matemática

Respuesta para el ejercicio 35

Tenemos un problema en el que hemos de maximizar la función:
    \( \displaystyle A = \frac{a \, b}{2}\)
Donde a y b son los lados del triángulo que forman el ángulo recto, sujeta a la condición:
    \( \displaystyle a + b + \sqrt{a^2 + b^2} = 5\)
De esta última ecuación, despejamos una de las variables, por ejemplo, a:
    \( \displaystyle a + b - 5 = - \sqrt{a^2 + b^2} \rightarrow (a+b-5)^2 = (- \sqrt{a^2 + b^2} )^2\)
Y haciendo operaciones:
    \( \displaystyle a = \frac{10 b - 25}{2(b-5)}\)
Sustituyendo el valor obtenido para a en la expresión a maximizar resulta:
    \( \displaystyle A = \frac{a \, b}{2} = \frac{10 b - 25}{4(b-5)} \times b = \frac{10b^2 - 25 b}{4(b-5)}\)
Y derivando e igualando a cero:
    \( \displaystyle A\,' = \frac{(20b - 25)4(b-5) - 4(10b^2 - 25b)}{16(b-5)^2} = 0 \)
O lo que es igual:
    \( \displaystyle 2b^2 - 20 b + 25 = 0 \rightarrow b = 5 \left(1 \pm \frac{1}{2}\sqrt{2}\right)\)
La opción con el signo + no es válida, puesto que nos da para el lado b un valor superior al perímetro total del triángulo, En consecuencia:
    \( \displaystyle b = 5 \left(1 - \frac{1}{2}\sqrt{2}\right) \rightarrow a = \frac{10b - 25}{2(b-5)} = 5 \left(1 - \frac{1}{2}\sqrt{2}\right)\)
Es decir, los catetos del triángulo rectángulo de perímetro 5 y área máxima son iguales y miden lo indicado.
Podemos comprobar que se verifica:
    \( \displaystyle a+b+\sqrt{a^2 + b^2} = 2 \times 5 \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 5(\sqrt{2} - 1) = 5\)
EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás