PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización matemática

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Problemas de optimización

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Ejercicios de optimización matemática

Calcular las dimensiones más económicamente convenientes que deberá tener un marco de una ventana de 1 m² de superficie sabiendo que el coste del metro lineal de los lados verticales es de 10 euros y el de los lados horizontales es de 15 euros.

Determinar también el coste aproximado del marco más económico.

Respuesta para el ejercicio 33

Denotando por a la longitud de los lados verticales y por b la de los lados horizontales, tenemos un problema de optimización en el que podemos plantear el sistema:
    \( \displaystyle a \, b = 1 \quad ; \quad a = 1/b \qquad ; \quad c = 10 a + 15 b \rightarrow c = \frac{10}{b} + 15 b \)
El mínimo de la función de coste tendrá lugar cuando se anule la derivada de dicha función; por lo tanto:
    \( \displaystyle c\,' = - \frac{10}{b^2} + 15 = 0 \rightarrow b^2 = \frac{10}{15} \; ; \; b = \pm \sqrt{\frac{10}{15}} = \pm 0,8165\)
El valor negativo de b no es físicamente válido, por lo que comprobamos si el valor positivo nos da, efectivamente, un mínimo. Se debe cumplir que el valor de la segunda derivada de la función de coste sea positivo en dicho punto. Tenemos:
    \( \displaystyle c\," = \frac{20}{b^3} \rightarrow c\, " (0,8165) > 0\)
Y, por lo tanto, en b = 0,8165 se alcanza un mínimo de la ecuación de coste.

Las dimensiones de la ventana de 1 m2 de superficie, que hacen el coste mínimo son, por tanto:
    \( \displaystyle b = 0,8165 \rightarrow a = \frac{1}{b} = 1,2247\)
Y este coste vendrá dado por:
    \(c_{min} = 10 \times 1,2247 + 15 \times 0,8165 = 24,495 \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS
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tema escrito por: José Antonio Hervás