PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización

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Problemas de optimización

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Ejercicios de optimización matemática

Respuesta para el ejercicio 32


Consideremos el esquema adjunto:

trapecio


El área del trapecio viene dada por la expresión:
    \(A = \displaystyle \left(\frac{B+b}{2}\right)h\)
Y se tienen que cumplir las condiciones:
    \( 2d+b = \displaystyle 275 \rightarrow d = \frac{275 - b}{2} \quad ; \quad d^2 = 50^2 + \left(\frac{B-b}{2}\right)^2\)
Sustituyendo el valor d obtenido en la primera ecuación en la segunda resulta:
    \( \displaystyle \left(\frac{275-b}{2}\right)^2 = 50^2 + \left(\frac{B-b}{2}\right)^2\)
Y a partir de ahí:
    \( b = \displaystyle \frac{B^2 - 65625}{2B - 550}\)
Sustituyendo ahora el valor obtenido para b en la expresión que da el área del trapecio:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} A = \left(\frac{B+b}{2}\right)h = \left(\frac{B+b}{2}\right)\times 50 = \\  \\ = 25(B+b) = 25 \left(B + \frac{B^2 - 65625}{2B - 550}\right) \end{array}\)
Y el área máxima podrá calcularse derivando la anterior expresión e igualando a cero
    \(A\,' = \displaystyle 25 \left[1 + \frac{2B(2B - 550) - 2(B^2-65625)}{(2B - 550)^2}\right] = 0 \)
O lo que es igual:
    \(A\,' = \displaystyle 150 \left[ \frac{B^2 - 550B + 65625}{(2B - 550)^2}\right] = 0 \rightarrow B^2 - 550B + 65625 = 0\)
Y resolviendo la ecuación de segundo grado resultante:
    \( \displaystyle B = \frac{550}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{ 550^2 - 4 \times 1 \times 65625} = 275 \pm 100\)
Para obtener el máximo calculamos la segunda derivada:
    \(\displaystyle A\, " = 150 \left[ \frac{(2B-550)(2B-550)^2 - 4(2B - 550)(B^2 - 550B + 65625}{(2B - 550)^4}\right] \)
Y simplificando:
    \( \displaystyle A\," = 150 \left[ \frac{368125}{(2B - 550)^3}\right] \)
Por lo tanto, si B = 375 el valor de A” es positivo y para dicho valor de B se alcanza un mínimo; si B = 175, se alcanza un máximo.

Conocido el valor de la base mayor, B, tenemos para la base menor, b:
    \(\displaystyle b = \frac{B^2 - 65625}{2B - 550} = 175\)
Y el lado d valdrá:
    \( \displaystyle d = \frac{275 - b}{2} = \frac{275 - 175}{2} = 50\)
Es decir, que el área máxima para las condiciones impuestas corresponde a un rectángulo.
EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás