PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización

Ver enunciado del ejercicio en:

Problemas de optimización

Estás en : Matemáticas y Poesía > Problemas resueltos

 

Ejercicios de optimización matemática

Respuesta para el ejercicio 31

La pendiente de la recta tangente es igual a la derivada de la función en ese punto:
    \(y = 2x e^{- 3x^2\, } \rightarrow y \,' = 2 e^{- 3x^2\, } + 2x e^{- 3x^2\, }(-6x) \)
Y reagrupando términos:
    \(y\,' = 2 e^{- 3x^2\, } (1 - 6x^2)\)
El valor máximo de la pendiente resultará cuando la derivada de esta función se anule; por lo tanto:
    \(y\," = 2 e^{- 3x^2\, }(-6x)(1-6x^2) + 2 e^{- 3x^2\, }(-12x) = 0\)
O lo que es igual:
    \(36 e^{- 3x^2\, }(2x^3 - x) = 0 \)
Y resolviendo:
    \(x = 0 \; ; \; (2x^2 - 1) = 0 \rightarrow x = 0 \; ; \; x = \pm \sqrt{1/2}\)
Para comprobar si los valores obtenidos dan máximo o mínimo, volvemos a derivar la función dada:
    \( \begin{array}{l} 36 e^{- 3x^2\, }(-6x)(2x^3 - x) + 36 e^{- 3x^2\, }(-6x^2 - 1) = \\  \\ = 36 e^{- 3x^2\, }(- 12x^4 + 12x^2 - 1) \end{array} \)
Y para x = 0 tenemos:
    \(y\,'''(0) = -1 < 0\)
Con lo que para dicho valor tenemos un máximo y (0, 0) es un punto en el que la pendiente de la recta tangente es máxima.
EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás