PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización

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Problemas de optimización

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Ejercicios de optimización matemática

Respuesta para el ejercicio 30

Se trata de encontrar todos los términos de la ley de control óptimo dada por:
    \( u^*(x) = - R^{-1}·B^T·P_\infty X(t) \)
De la expresión general :
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \dot{X}(t) = A·X(t) + B·u(t) \; ; \; X(t_o) = X_o \\
     \\
    J(u) = \int_0^\infty \{\langle X(t), Q·X(t)\rangle + \langle u(t), R·u(t)\rangle\}dt
    \end{array} \)
Tenemos en nuestro caso:
    \( A = \left(
    \begin{array}{cc}
    0 & 1 \\
    0 & 0 \\
    \end{array}
    \right) \; ; \; B = \left(
    \begin{array}{c}
    0 \\
    1 \\
    \end{array}
    \right)\; ; \;Q = \left(
    \begin{array}{cc}
    4 & 0 \\
    0 & 0 \\
    \end{array}
    \right) \; ; \; R = 1 \)
La matriz \(P_\infty\) se obtiene a partir de la ecuación algebraica de Riccati:
    \(Q - P_\infty·B·R^{-1}·B^T·P_\infty + A^T·P_\infty + P_\infty·A = 0 \)
Y debe ser definida positiva.
Tenemos entonces:
    \( \begin{array}{l}
    \left(
    \begin{array}{cc}
    4 & 0 \\
    0 & 0 \\
    \end{array}
    \right) - \left(
    \begin{array}{cc}
    P_{11} & P_{12} \\
    P_{12} & P_{22} \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{c}
    0 \\
    1 \\
    \end{array}
    \right)·1·\left(
    \begin{array}{cc}
    0 & 1 \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{cc}
    P_{11} & P_{12} \\
    P_{12} & P_{22} \\
    \end{array}
    \right) + \\
     \\
    \left(
    \begin{array}{cc}
    0 & 0 \\
    1 & 0 \\
    \end{array}
    \right) \left(
    \begin{array}{cc}
    P_{11} & P_{12} \\
    P_{12} & P_{22} \\
    \end{array}
    \right) + \left(
    \begin{array}{cc}
    P_{11} & P_{12} \\
    P_{12} & P_{22} \\
    \end{array}
    \right) \left(
    \begin{array}{cc}
    0 & 1 \\
    0 & 0 \\
    \end{array}
    \right) = \left(
    \begin{array}{cc}
    0 & 0 \\
    0 & 0 \\
    \end{array}
    \right)
    \end{array}
    \)
Y operando con las matrices resulta:
    \(- P_{12}^2 + 4 = 0 \; ; \; P_{11} - P_{12}· P_{22} = 0 \; ; \; - P_{12}^2 + 2· P_{12} = 0 \)
De la primera ecuación obtenemos:
    \(- P_{12}^2 + 4 = 0 \Rightarrow P_{12} = \pm 2 (P\: def.\: Pos.) \Rightarrow P_{12} = + 2 \)
Y sustituyendo este valor en las otras ecuaciones:
    \( - P_{22}^2 + 2·2 = 0 \; ; \; P_{22} = \pm 2 (P \: def.\: Pos.) \Rightarrow P_{22} = +2 \; ; \; P_{11} = +4 \)
Con lo que la ley de control óptimo para el sistema será:
    \(u^*(x) = -R^{-1}B^TP_\infty X(t) = - 1\left(
    \begin{array}{cc}
    0 & 1 \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{cc}
    4 & 2 \\
    2 & 2 \\
    \end{array}
    \right)\left(
    \begin{array}{c}
    x_1 \\
    x_2 \\
    \end{array}
    \right) = -2(x_1+x_2) \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás