PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización

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Problemas de optimización

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Ejercicios de optimización matemática

Respuesta para el ejercicio 26

Este problema consta de dos partes. En la primera debemos minimizar la longitud del arco de una curva x(t); esto es, minimizar el funcional:
    \( \displaystyle \int_a^b \sqrt{(1+\dot{x}^2)}dx \)
Y en el problema 21 hemos obtenido como extremales las rectas:
    \( x(t) = K_1·t + K_2\)
De la condición de frontera en el punto fijo tenemos:
    \( (0,1)\Rightarrow 1 = K_10 + K_2 \Rightarrow x(t) = K_1·t + 1\)
Para determinar el valor de la constante K1 aplicamos la condición de transversalidad
    \( \displaystyle f(x, \dot{x}, t) + (\dot{y}-\dot{x})\left.\frac{\partial f}{\partial \dot{x}}\right|_{t=t_F} = 0 \)
Que en este caso nos da:
    \( \sqrt{(1+\dot{x}^2)} + (2t-\dot{x})\left.\frac{\dot{x}}{\sqrt{(1+\dot{x}^2)}}\right|_{t=t_F} = 0\)
Y operando:
    \(\displaystyle (1+\dot{x}^2) + (2t+\dot{x})·\left.\dot{x}\right|_{t=t_F} = 0 \Rightarrow \dot{x}(t_F) = - \frac{t_F}{2} \)
Sustituyendo este valor en la recta tenemos:
    \( \displaystyle \dot{x}(t)= K_1 \Rightarrow \dot{x}(t_F)= K_1 = - \frac{t_F}{2}\; ; \; x(t_F) = - \frac{1}{2t_F}t_F + 1 = \frac{1}{2} \)
Y como este punto tiene que estar sobre la parábola del enunciado:
    \( \displaystyle \frac{1}{2} = t_F^2 \Rightarrow t_F = \left(\frac{1}{2}\right)^{1/2} \)
Por lo que, finalmente:
    \( \displaystyle K_1 = - \frac{1}{2t_F} = - \frac{1}{2\left(\frac{1}{2}\right)^{1/2}}\Rightarrow x(t)= - \frac{1}{\sqrt{2}}·t + 1 \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás