PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización

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Problemas de optimización

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Ejercicios de optimización matemática

Respuesta para el ejercicio 25

Podemos resolver el problema aplicando la fórmula general de Euler:
    \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} -\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial f}{\partial \dot{x}}\right)+ \frac{d^2}{dt^2} \left(\frac{\partial f}{\partial \ddot{x}}\right)= 0 \)
Operando llegamos con facilidad a:
    \( \displaystyle \frac{d^2}{dt^2}(2\ddot{x}) = 0 \)
De donde resulta:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{d^2}{dt^2}(2\ddot{x}) = 0 \Rightarrow \frac{d}{dt}(2\ddot{x}) = K_1 \Rightarrow 2\ddot{x} = 2\frac{d^2x}{dt^2} = K_1 t + K_2 \\ \\ 2 \frac{dx}{dt}=\frac{1}{2}K_1t^2+K_2 t + K_3 \Rightarrow 2x = \frac{1}{6}K_1t^3 + \frac{1}{2}K_2t^2 + K_3t + K_4 \\ \\ x = \frac{1}{12}K_1t^3 + \frac{1}{4}K_2t^2 + \frac{1}{2}K_3t + \frac{1}{2}K_4 \equiv At^3 + Bt^2 + Ct + D \\ \end{array} \)
Por las condiciones de contorno:
    \( x(0) = 1 \Rightarrow D = 1 \quad ; \quad \dot{x}(0) = 1 \Rightarrow C = 1 \)
Y queda:
    \( x(t) = At^3 + Bt^2 + t + 1 \)
Por lo que tendremos:
    \( \left. \begin{array}{l} x(1) = 0 = A+B + 2 \\ \\ \dot{x}(1) = 0 = 3A + 2B + 1 \\ \end{array} \right\} \quad B = -5 \quad;\quad A = 3 \)
Y, finalmente:
    \( x(t) = 3t^3 - 5 t^2 + 1 \Rightarrow \dot{x}(t) = 9 t^2 - 10t \Rightarrow \ddot{x}(t) = 18 t- 10 \)
Con lo que el valor mínimo buscado será:
    \( \displaystyle \int_0^1 (18t -10)^2dt = \left[\frac{18^2}{3}t^3 + 10^2t - 180t^2 \right]_0^1 = 28 \)
Otra forma de resolver el problema es como sigue. Introducimos dos variables x1, x2 que cumplan:
    \( x_1 = x \quad; \quad x_2 = \dot{x} = \dot{x}_1 \)
Y de ese modo el funcional queda en la forma:
    \( \displaystyle \int_0^1 \dot{x}_2^2dt\qquad (*) \)
Y tenemos la condición no holónoma:
    \( x_2 - \dot{x}_1 = 0 \)
Lo que nos permite escribir el funcional ampliado:
    \( \displaystyle J_a = \int_0^1\left[\dot{x}_2^2 \dot{+ \lambda(x_2 - \dot{x}_1)}\right]dt \)
Y las ecuaciones de Euler para x1 y x2 nos dan:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{\partial f}{\partial x_1}= 0 \quad ; \frac{\partial f}{\partial \dot{x}_1}= -\lambda\Rightarrow \frac{\partial f}{\partial x_1} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{x}_1}\right) = 0 \\ \\ \\ \frac{\partial f}{\partial x_2}= \lambda \quad ; \frac{\partial f}{\partial \dot{x}_1}= 2\dot{x}_2\Rightarrow \frac{\partial f}{\partial x_2} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{x}_2}\right) = 0 \end{array} \)
Y de ahí obtenemos, respectivamente:
    \( \displaystyle \frac{d}{dt}(\lambda)= 0 \quad ; \quad \lambda - \frac{d}{dt}(2\dot{x}_2)= 0 \)
Tomando la segunda de las ecuaciones podemos hacer:
    \( \displaystyle \frac{d}{dt}\left[\lambda - \frac{d}{dt}(2\dot{x}_2)\right] = 0 \Rightarrow \frac{d}{dt}(\lambda)- \frac{d^2}{dt^2}(2\dot{x}_2)= 0 \)
Y sustituyendo en ella el valor de la primera:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{d^2}{dt^2}(2\dot{x}_2)= 0 \Rightarrow \frac{d}{dt}(2\dot{x}_2)= K \\ \\ \\ 2\dot{x}_2 = Kt + K_1 \Rightarrow x_2 = at^2 + Bt + C \end{array} \)
Por otro lado, como hemos, teniendo en cuenta la condición no holónoma, resulta:
    \( \displaystyle \frac{dx_1}{dt}= A t^2 + Bt + C \Rightarrow x_1 = \frac{A}{3} t^3 + \frac{B}{2} t^2 + Ct + D \)
Y aplicando las condiciones de ligadura:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} x(0) = x_1(0) = 1 \quad ; \quad \dot{x}(0) = \dot{x}_1(0) = x_2(0) = 1 \\ \\ x(1) = x_1(1) = 0 \quad ; \quad \dot{x}(1) = \dot{x}_1(1) = x_2(1) = 0 \end{array} \)
Tenemos:
    \( \begin{array}{l} x_1(0) = 1 \Rightarrow D = 1 \quad ; \quad x_2(0) = 1 \Rightarrow C = 1 \\ \\ x_1(0) = 0 \quad ; \quad x_2(1) = 0 \Rightarrow A = 0 \quad ; \quad B = -10 \end{array} \)
Por lo cual:
    \( \displaystyle\begin{array}{l} x_1(t) = 3t^3 - 5t^2 + t + 1 \quad ; \\  \\ x_2(t) = 9t^2 - 10t + 1 \quad ; \quad \dot{x}_2(t) = 18t - 10 \end{array} \)
Y sustituyendo el valor obtenido en (*)
    \( \displaystyle \int_0^1 \dot{x}_2^2dt \Rightarrow \int_0^1(18t - 10)^2dt = 28 \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás