PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización

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Problemas de optimización

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Ejercicios de optimización matemática

Respuesta para el ejercicio 23

En este caso tenemos una función de la forma \(f(x,y,\dot{x}, \dot{y}, t) \) por lo que las condiciones de Euler son:
    \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{x}}\right)= 0 \quad ; \quad \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right)= 0 \)
Y la función f está dada por:
    \( f = \dot{y}^2 - t\dot{x}y \)
Por lo que tendremos:
    \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}= -t\dot{x}\;;\; \frac{\partial f}{\partial \dot{y}}= 2\dot{y}\quad;\quad \frac{\partial f}{\partial x}= 0\;;\; \frac{\partial f}{\partial \dot{x}}= -ty \)
Y así:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right)= 0 \Rightarrow -t\dot{x}- \frac{d}{dt}(2\dot{y}) = 0 \\ \\ \\ \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{x}}\right)= 0 \Rightarrow - \frac{d}{dt}(-ty) = 0 \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow ty = K \Rightarrow y = \frac{K}{t} \end{array} \)
Sustituyendo el valor obtenido para y en la primera de las ecuaciones anteriores:
    \( \displaystyle -t\dot{x}- \frac{d}{dt}\left(- \frac{2K}{t^2}\right) = 0 \Rightarrow t\frac{dx}{dt}+ \frac{d}{dt}\left( \frac{2K}{t^2}\right) = 0 \)
Multiplicando por dt y desarrollando la diferencial implícita:
    \( \displaystyle tdx + \frac{4K}{t^3}dt = 0 \Rightarrow dx + \frac{4 K}{t^4} dt = 0 \Rightarrow x - \frac{4K}{3t^3} = K_1 \)
Tenemos así:
    \( \displaystyle y = \frac{K}{t}\quad ; \quad x = K_1 + \frac{4K}{3t^3} \)
Por las condiciones de ligadura
    \( \displaystyle \begin{array}{l} y(1) = 1 = \frac{K}{1}\Rightarrow K = 1 \\ \\ y(2) = \frac{1}{2}= \frac{K}{2} \Rightarrow K = 1 \textrm{ (confirmado)} \\ \\ x(1) = 1 = K_1 + \frac{4}{3} \Rightarrow K_1 = - \frac{1}{3} \\ \\ x(2) = - \frac{1}{3} + \left(\frac{4}{3}\times \frac{1}{8}\right) = - \frac{1}{6}\textrm{ (confirmado)} \end{array} \)
Esto nos da los valores:
    \( \displaystyle y = \frac{1}{t}\;;\;\dot{y} = -\frac{1}{t^2}\quad; \quad x = \frac{1}{3}\left(\frac{4}{t^3}-1\right)\;;\; \dot{x} = - \frac{4}{t^4} \)
Y el funcional quedará
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \int_1^2 (\dot{y}^2-t\dot{x}y)dt = \int_1^2 \left(\frac{1}{t^4}- \frac{4}{t^4}\right)dt = \\  \\ = -\int_1^2 3\frac{dt}{t^4} = \left[\frac{1}{t^3}\right]_1^2 = - \frac{7}{8} \end{array} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás