PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización

Ver enunciado del ejercicio en:

Problemas de optimización

Estás en : Matemáticas y Poesía > Problemas resueltos

 

Ejercicios de optimización matemática

Respuesta para el ejercicio 22

La función que debemos considerar es:
    \( t\dot{x} - \dot{x}^2 \)
Por lo tanto, en la ecuación de Euler:
    \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{x}}\right) = 0\)
Tenemos:
    \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = 0\quad ; \quad \frac{\partial f}{\partial \dot{x}} =t - 2 \dot{x} \)
Y de ese modo:
    \( \displaystyle \frac{d}{dt}(t - 2 \dot{x}) = 0 \Rightarrow t-2\dot{x} = K \Rightarrow \dot{x} = \frac{1}{2}(t-K) \)
Integrando la ecuación resultante tenemos:
    \( \displaystyle x = \frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}Kt + K_1 \)
Y teniendo en cuenta las condiciones de ligadura:
    \( \displaystyle x(0) = 1 \Rightarrow K_1 = 1 \quad ; \quad x(1) = \frac{1}{4} \Rightarrow K = 2 \)
Por lo que, finalmente:
    \( \displaystyle x = \frac{1}{4}t^2 - t + 1 \quad ; \quad \dot{x}= \frac{1}{2}t - 1 \)
Y el valor extremal del funcional vendrá dado por:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \int_0^1 \left(t·\dot{x} - \dot{x}^2\right)dt = \int_0^1\left[t\left(\frac{1}{2}t - 1\right) - \left(\frac{1}{2}t - 1\right) \right]dt = \\
    \\
    = \int_0^1\left(\frac{1}{4}·t^2 - 1\right)dt = \left[\frac{1}{12}·t^3 - t\right]_0^1 = - \frac{11}{12}
    \end{array} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás