PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización

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Problemas de optimización

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Ejercicios de optimización matemática

Respuesta para el ejercicio 21

En la expresión general de la ecuación de Euler:
    \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{x}}\right) = 0\)
Debemos considerar la ecuación:
    \(f = \sqrt{1+\dot{x}^2(t)} \)
Por lo que resulta:
    \( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = 0\quad ; \quad \frac{\partial f}{\partial \dot{x}} = \frac{\dot{x}}{\sqrt{1+\dot{x}^2(t)}} \)
Y a partir de ahí tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{d}{dt}\left[\frac{\dot{x}}{\sqrt{1+\dot{x}^2(t)}}\right]= 0 \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow d\left[\frac{\dot{x}}{\sqrt{1+\dot{x}^2(t)}}\right]= 0 \Rightarrow \frac{\dot{x}}{\sqrt{1+\dot{x}^2(t)}} = C \end{array} \)
Operando con la última expresión resulta:
    \( \displaystyle \dot{x}^2 = (1 + \dot{x}^2)C^2 \Rightarrow \dot{x} = \frac{C}{\sqrt{1-C^2}} = C_1 \)
E integrando:
    \( \displaystyle \dot{x} = \frac{dx}{dt} = C_1 \Rightarrow x = C_1Ět + C_2 \)
Para las condiciones impuestas:
    \( x(0) = 0 \Rightarrow C_2 = 0 \quad ; \quad x(1) = 1 \Rightarrow C_1 = 1 \)
Y esto nos da los valores:
    \( \displaystyle x(t) = t \quad ; \quad \dot{x} = \frac{dx}{dt} = 1 \)
Según lo anterior, el valor mínimo del funcional será:
    \( \displaystyle \int_0^1 \sqrt{1+\dot{x}^2(t)}dt = \int_0^1 \sqrt{1+1}dt = \sqrt{2} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás