PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización matemática

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Ejercicios de optimización matemática

Resolver el siguiente problema de programación lineal. Minimizar la función:
    \(- 5 u_1 - 2 u_2\)
Sujeto a:
    \(u_1 + u_2 \geq 2 \quad ; \quad 3 u_1 + u_2 \leq 4 \quad ; \quad u_i \geq 0 \)
Respuesta para el ejercicio 18

Introduciendo variables de holgura y variables artificiales y penalizando la función objetivo con un coste M, el problema se puede plantear en la forma:
    \( \min : -5u_1 - 2u_2 + Mu_4 \)
Sujeto a:
    \( u_1 + u_2 - u_3 + u_4 = 2 \quad ; \quad 3u_1 + u_2 + u_5 = 4 \quad ; \quad u_i \geq 0 \)
Una solución básica para el problema ampliado es:
    \( u_1 = u_2 = u_3 = 0 \quad ; \quad u_4 = 2 \quad ; \quad u_5 = 4 \quad ; \quad F_b = 2M \)
Y la primera tabla del algoritmo SIMPLEX queda:
tabla para algoritmo simplex

Por el criterio de entrada vemos que pasa a la base el vector a1 y por el criterio de salida sale el a5; de ese modo, el pivote de la transformación es v21 y para la segunda tabla del algoritmo tenemos:
tabla para algoritmo simplex

Puesto que nos queda un \(C_q - F_q\) negativo no hemos llegado a la solución óptima. El pivota para la siguiente tabla es v12 y tenemos:
tabla para algoritmo simplex

Nuevamente tenemos un \(C_q - F_q\) negativo por lo que debemos continuar con el algoritmo. El pivote de la transformación es en este caso v32 y tenemos:
tabla para algoritmo simplex

Puesto que todos los \(C_q - F_q\) son positivos, hemos llegado a una solución óptima del problema que es degenerada (una de las variables es nula):
    \( u_1 = 0 \quad ; \quad u_2 = 4 \quad ; \quad F_\min = -8 \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS
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tema escrito por: José Antonio Hervás