PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización

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Problemas de optimización

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Ejercicios de optimización matemática

Respuesta para el ejercicio 15

El problema es idéntico al de minimizar la función:
    \( Z' = 8x_1 -3x_2 + 6x_3 \)
Aplicaremos el método simplex y para ello buscamos una solución básica por el método de las dos fases:
    \( \min : G(x) = x_5 + x_6 \)
Sujeto a:
    \( \begin{array}{l} x_1 - 3x_2 + 5x_3 + x_5 = 4 \\ \\ 5x_1 + 3x_2 - 4x_3 - x_4 + x_6 = 6 \end{array} \)
Para el problema ampliado una solución básica es:
    \( x_1 = x_2 =x_3 + x_4 = 0\, ; \, x_5 = 4 \, ; \, x_6 = 6 \, ; \, G_b = 10 \)
La primera tabla del algoritmo para el método de las dos fases es:
tabla para programación matemática

El pivote de la transformación es v21 y la segunda tabla queda:
tabla para programación matemática

El pivote para este caso es v13 y la tercera tabla es:
tabla para programación matemática

Hemos llegado a una solución óptima en la que la función objetivo, G(x) es nula; por lo tanto, el problema original tiene solución finita que podemos obtener aplicando nuevamente el algoritmo. Para la tabla siguiente hemos de cambiar la función objetivo y, por tanto, los \(C_q - F_q\) :
tabla para programación numérica

Para la siguiente tabla el pivote es v22 y tenemos:
tabla para programación numérica

Puesto que todos los \(C_q - F_q\) son positivos hemos llegado a la solución óptima que es:
    \( \displaystyle x_1 = 0\;;\; x_2 = \frac{46}{3}\;;\;x_3 = 10 \Rightarrow F_\min = 14 \Rightarrow F_\max = -14 \)
Este problema puede también resolverse de otro modo. Si consideramos la restricción que es igualdad, podemos despejar de ella una de las variables en función de las otras y rebajar el problema en una dimensión. En principio podemos suponer que la variable despejada no será nula al final por lo que nos interesa separar aquella que favorezca la optimización. En este caso tomaremos x2. De ese modo:
    \( 3·x_2 = x_1 + 5·x_3 4 \)
Y llevando este resultado a las otras expresiones:
    \( \begin{array}{l} z = -8x_1 + (x_1 + 5x_3 -4) - 6x_3 = -7x_1 - x_3 - 4 \\ \\ 5x_1 + (x_1 + 5x_3 -4) -4x_3 \geq 6 \Rightarrow 6x_1 + x_3 \geq 10 \end{array} \)
En la expresión a maximizar vemos que cuanto más pequeño sea el valor de las variables sin llegar a ser negativo, mas se optimiza esta. Puesto que tiene que cumplirse la inecuación, es trivial que tomemos x1 = 0. De ahí x3 = 10.

Considerando de nuevo la restricción igualdad se deduce inmediatamente x2 = 46/3 y, en consecuencia, F máx = - 14.
EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás