PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización matemática

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Ejercicios de programación matemática

Obtener el mínimo de la función:
    \(\displaystyle 3\, x_1 + x_2 + \frac{3}{2}\, x_3\)
sujeto a :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} x_1+x_2 + x_3 = 1 \quad ; \quad \frac{1}{5}\,x_1+\frac{3}{2}\,x_2 \leq \frac{3}{5} \quad ; \\  \\ 36\, x_1+ 24\, x_2 + 48\, x_3 \geq 32 \end{array}\)
Respuesta del ejercicio 8
Considerando la primera de las restricciones podemos escribir :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} 3x_1+x_2 + \frac{3}{2}x_3 = 3x_1 + x_2 + \frac{3}{2}(1-x_1-x_2)=\\\\ = \frac{3}{2}x_1 - \frac{1}{2}x_2 + \frac{3}{2} \\ \\ 48x_1 + 48x_2 +48x_3 \geq 32 + 12x_1 + 24x_2 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow 48\geq 32 + 12x_1 + 24x_2 \end{array} \)
y de ese modo el problema se transforma en obtener el mínimo de:
    \( \displaystyle \frac{3}{2}x_1 - \frac{1}{2}x_2 + \frac{3}{2} \)
sujeto a
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{1}{5}x_1 + \frac{3}{2}x_2 \leq \frac{3}{5} \\ \\ \\ 3x_1 + 6x_2 \leq 4 \end{array} \)
que resolvemos gráficamente.

esquema para optimización


Haciendo \(x_1 = 0 \; y \; x_2 = 0 \) , respectivamente, en cada una de las rectas que señalan restricciones, se tiene: Para la recta límite de la primera restricción los puntos de corte con los ejes (0, 0,4) y (3, 0) y para la recta límite de la segunda restricción los puntos de corte con los ejes (0, 0,66) y (1,33, 0). En la figura hemos rayado el campo de control y en ella vemos que el mínimo valor de la recta objetivo que cumple todas las restricciones es el punto \((x_1 = 0 \; ; \; x_2 = 0,4) \); por lo tanto :
    \( \displaystyle F_\min = \frac{3}{2}0 - \frac{1}{2}0,4 + \frac{3}{2} = 1,3 \)
y el valor de las variables para el problema original es: \(x_1 = 0 \; ; \; x_2 = 0,4\; ; \; x_3 = 0,6\).
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tema escrito por: José Antonio Hervás