PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización

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Problemas de optimización

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Ejercicios de programación matemática

Respuesta del ejercicio 7
Vamos a resolver el problema gráficamente. La función a minimizar puede escribirse en la forma:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{1}{2}\left(x_1^2 + x_2^2\right)- x_1 - x_2 = a \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow F = \left(x_1- 1\right)^2 + \left(x_2- 1\right)^2 = 2a + 2 \end{array}\)
que es una circunferencia de radio \(\sqrt{2a+2}\) y centro (1, 1). Por lo tanto, para obtener el mínimo de F necesitamos calcular el mínimo valor de r (ó a) que permita cumplir las restricciones.

esquema del conjunto solución

Según el esquema adjunto, el valor mínimo de r que hace cumplir las restricciones es el de la intersección de la perpendicular desde el punto (1, 1) a la recta da por la ecuación :
    \( \displaystyle 4x_1 + 2x_2 = \frac{7}{3} \)
pues en dicho punto se tiene, tal como se aprecia en el esquema:
    \( x_1 + x_2 \leq 1 \)
y de ese modo se cumplen todas las restricciones. La ecuación de la perpendicular será aquella que cumpla:
    \( \displaystyle x'_2 = m'x'_1 + c \quad \textrm{ con }\quad m' = - \frac{1}{m} = \frac{-1}{(-2)} = \frac{1}{2} \)
y puesto que pasa por el punto (1, 1) :
    \( \displaystyle x'_2 - 1 = \frac{1}{2}(x'_1 - 1) \Rightarrow x'_1 - 2x'_2 = -1 \)
De ese modo tendremos :
    \( \displaystyle \left. \begin{array}{l} 4x_1 + 2x_2 = \frac{7}{3} \\ \\ x_1 - 2x_2= -1 \\ \end{array} \right\}\Rightarrow x_1 = \frac{4}{15}\quad ; \quad x_2 = \frac{19}{30} \)
y el valor mínimo de la función será :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} F_\min = \min\left[\frac{1}{2}\left(x_1^2 + x_2^2\right)- x_1 - x_2\right] = \\  \\ = \frac{1}{2} \left[\left(\frac{4}{15}\right)^2 +\left( \frac{19}{30}\right)^2\right]- \frac{4}{15} - \frac{19}{30} = - 0,6639 \end{array} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás