PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización

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Problemas de optimización

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Ejercicios de programación matemática

Respuesta del ejercicio 6
Para desarrollar el problema podemos hacer:
    \( F(x) = - 2x_1 - x_2 + x_1^2 = C \Rightarrow x_2 = x_1^2-2x_1 - C \quad(*) \)
De ese modo tenemos una parábola con un mínimo en
    \( \displaystyle \frac{dx_2}{dx_1} = 2(x_1 - 1) \Rightarrow x_1 = 1 \)
y corta al eje x1 en:
    \( x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = 1\pm \sqrt{1 + C} \)
Y puede comprobarse que se desplaza hacia arriba al disminuir el valor de C.
El campo de control viene dado por el recinto rayado ABDE, que está definido por las condiciones dadas en el enunciado del problema.

campo de control de una función


Por lo tanto, dada la posición del mínimo de (*) y dado que el punto buscado ha de pertenecer a la frontera de ABDE, la posición mas elevada (mínimo de C) de la parábola será la que sea tangente a la recta AB .-\(2x_1 + 3x_2 = 6 \) . Esta recta tiene una pendiente de –2/3, con lo cual :
    \( \displaystyle \frac{dx_2}{dx_1} = 2(x_1 - 1)= - \frac{2}{3} \Rightarrow x_1 = \frac{2}{3} \)
y sustituyendo este valor de x1 en la ecuación de la recta AB:
    \( \displaystyle 2x_1 + 3x_2 = 6 \Rightarrow x_2 = -\frac{2}{3}x_1 + 2 = \frac{14}{9} \)
por lo que, finalmente:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} F(x) = -2x_1 - x_2 + x_1^2 = C \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow F_\min = -2\frac{2}{3} - \frac{14}{9} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = - \frac{22}{9} \end{array} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás