Resolver el siguiente problema de programación cuadrática. Minimizar:



sujeto a

Respuesta

Podemos escribir la función objetivo en la forma:



y el problema consiste en minimizar el valor de K.
La expresión representa la ecuación de una cónica y para ver a que tipo de cónica se refiere, calculamos el discriminante:



y, por lo tanto, tenemos una elipse (cuando el discriminante vale 0 la ecuación se refiere a una parábola y cuando es menor que cero a una hipérbola. Para que la elipse sea real debe cumplirse.S < 0 y tenemos:



Esto nos da para la función objetivo sin restricciones un valor mínimo de K = -6. El centro de esta elipse se encuentra como sigue:



Por otro lado, el campo de control corresponde a la zona rallada de la figura adjunta. Según eso, vemos que el valor mínimo de z resultará cuando la recta x₁ + x₂ = 2 sea tangente a la elipse. La ecuación de la tangente a la elipse en un punto (x'₁, x'₂ viene dada por:

con lo que tendremos: x'1(4.x1 - 2.x2 - 6) + x'2(4.x2 - 2.x'1) + (- 6.x1 - K) = 0 Y operando: (4.x'1 - 2.x'2 - 6).x1 + (4.x'2 - 2.x'1).x2 - ( 6.x'1 + K) = 0 Esta recta tiene que tener la misma pendiente que x1 + x2 = 2, por lo que tendremos:

Como el punto ha de pertenecer a la recta x₁ + x₂ = 2, resultará :

x'₁ + x'₂ = 2 ? x'₁ + x'₁ - 1 = 2 ? x'₁ = 3/2 ; x'₂ = 1/2

y el valor mínimo de z será: z_min = -11/2