PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de optimización

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Problemas de optimización

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Ejercicios de programación matemática

Respuesta del ejercicio 4
Podemos escribir la función objetivo en la forma:
    \( 2·x_1^2 + 2·x_2^2 - 6·x_1 - 2·x_1·x_2 = K \)
y el problema consiste en minimizar el valor de K.
La expresión representa la ecuación de una cónica y para ver a que tipo de cónica se refiere, calculamos el discriminante:
    \( \delta = \left| \begin{array}{cc} a & b \\ b & c \\ \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right| = 3 > 0 \)
y, por lo tanto, tenemos una elipse (cuando el discriminante vale 0 la ecuación se refiere a una parábola y cuando es menor que cero a una hipérbola. Para que la elipse sea real debe cumplirse Δ < 0 y tenemos:
    \(\begin{array}{l}
    \triangle = \left| \begin{array}{ccc} a & b & d \\ b & c & e \\ d & e & f \\ \end{array} \right|= \left| \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -3 \\ -1 & 2 & 0 \\ -3 & 0 & -K \\ \end{array} \right| = 3(K+6)\quad ; \\
     \\
    S = a+c = 1+1 = 2
    \end{array}\)
Esto nos da para la función objetivo sin restricciones un valor mínimo de K = -6. El centro de esta elipse se encuentra como sigue:
    \( \left. \begin{array}{l} f'_{x_1} = 0 \Rightarrow 4·x_1-2·x_2 - 6 = 0 \\ \\ f'_{x_2} = 0 \Rightarrow 4·x_2-2·x_1 = 0 \\ \end{array} \right\}\quad x_1 = 2\quad ; \quad x_2 = 1 \)
Por otro lado, el campo de control corresponde a la zona rallada de la figura adjunta.

campo de control de una función


Según eso, vemos que el valor mínimo de z resultará cuando la recta \(x_1+x_2=2\) sea tangente a la elipse. La ecuación de la tangente a la elipse en un punto \((x'_1,x'_2)\) viene dada por:
    \(x'_1·f'_{x_1} +x'_2·f'_{x_2} + 1·f'_{x_0} = 0 \)
con lo que tendremos:
    \( x'_1(4.x_1 - 2.x_2 - 6) + x'_2(4.x_2 - 2.x'_1) + (- 6.x_1 - K) = 0 \)
Y operando:
    \( (4.x'_1 - 2.x'_2 - 6).x_1 + (4.x'_2 - 2.x'_1).x_2 - ( 6.x'_1 + K) = 0 \)
Esta recta tiene que tener la misma pendiente que \(x_1+x_2=2\) , por lo que tendremos:
    \( \displaystyle -1= - \frac{4·x'_1 - 2·x'_2 - 6}{4·x'_2 - 2·x'_1}\Rightarrow x'_2 = x'_1 -1 \)
Como el punto ha de pertenecer a la recta \(x_1+x_2=2\) , resultará :
    \( \displaystyle x'_1 + x'_2 = 2 \Rightarrow x'_1 + x'_1 - 1 = 2 \Rightarrow x'_1 = \frac{3}{2}\; ; \; x'_2 = \frac{1}{2} \)
y el valor mínimo de z será: \( z_\min = - 11/2\)
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