Ejercicios de programación matemática

Resolver el siguiente problema de programación cuadrática: Mínimo de la función:

\(z = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 2)^2\)

Sujeto a:

\( x_1+2\,x_2 \leq 3 \quad ; \quad 8\,x_1+5\,x_2 \geq 10 \quad ; \quad x_i \geq 0\)

Respuesta del ejercicio 3

Para desarrollar el problema hacemos:

\( (x_1-2)^2 + (x_2-2)^2 = a^2 \)

Y tenemos una circunferencia de radio a y centro en (2, 2). Por lo tanto, para obtener el mínimo de z necesitamos calcular el mínimo valor de a que cumple las restricciones. Gráficamente tenemos la situación de la figura y en ella vemos que el valor mínimo de a que verifica las restricciones es el de la perpendicular desde el punto (2, 2) a la recta dada por:

\( \displaystyle x_1 + 2x_2 = 3 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{2}·x_1 +\frac{3}{2}\)

pues en dicho punto se tiene:

\( 8·x_1 + 5·x_2 \leq 10\)

y de ese modo se cumplen todas las restricciones.

Para obtener la perpendicular hacemos:

\( \displaystyle x'_2 = m'x'_1 + c \quad ; \quad m'= - \frac{1}{m} = - \frac{1}{1/2} = 2 \)

y puesto que pasa por el punto (2, 2):

\( \displaystyle x'_2 - 2 0 2(x'_1-2)\Rightarrow 2·x'_1 - x'_2 = 2 \)

con lo que tendremos:

\( \displaystyle \left. \begin{array}{c} x_1 + 2·x_2 = 3 \\ \\ 2·x_1 - x_2 = 2 \\ \end{array} \right\}\quad x_1 = \frac{7}{5}\quad ; \quad x_2 = \frac{4}{5}\Rightarrow z_\min = 1,8 \)